Dernière mise à jour : 2026-05-12

Base et système de numération positionnelle

Tout nombre entier peut être écrit à l'aide d'un système de numération positionnelle. La base (ou radix) indique combien de symboles de chiffres distincts sont utilisés et quelle valeur a chaque position.

Dans notre système quotidien en base 10, nous utilisons dix chiffres (0–9), et chaque position vaut dix fois celle qui se trouve à sa droite :

En base 2 (binaire), on ne dispose que de deux chiffres (0 et 1), et chaque position double sa valeur :

Les différentes bases ne sont que des façons différentes d'écrire le même entier.

Les quatre bases les plus courantes

Pour les bases supérieures à 10, il faut des symboles supplémentaires. La convention est d'utiliser les lettres de l'alphabet : A = 10, B = 11, … jusqu'à Z = 35. C'est pourquoi cette calculatrice prend en charge les bases 2 à 36 — 36 est la plus grande base que l'on peut écrire avec 0–9 et A–Z.

Conversion à la main : Base X → Base 10

Pour convertir un nombre d'une base quelconque vers le décimal, on multiplie chaque chiffre par la base élevée à la puissance de sa position (en comptant à partir de 0 depuis la droite), puis on additionne le tout.

Convertir FF (hex) en décimal :

Convertir 1010 (binaire) en décimal :

Convertir 377 (octal) en décimal :

On remarque que FF₁₆, 377₈ et 255₁₀ désignent le même nombre — exprimé de trois manières différentes.

Conversion à la main : Base 10 → Base X

Dans l'autre sens, on divise répétitivement par la base cible et on recueille les restes. En lisant les restes de bas en haut, on obtient le nombre converti.

Convertir 255₁₀ en base 16 :

En lisant de bas en haut : FF ✓

Convertir 10₁₀ en base 2 :

En lisant de bas en haut : 1010 ✓

Cette méthode fonctionne pour convertir entre n'importe quelle paire de bases : base source → décimal → base cible. C'est exactement ce que fait cette calculatrice en interne.

Raccourci : Binaire ↔ Octal ↔ Hex

Comme 8 = 2³ et 16 = 2⁴, on peut convertir entre le binaire et ces deux bases en regroupant simplement les chiffres — sans aucune division.

Binaire → Octal : regrouper les chiffres binaires par trois depuis la droite et convertir chaque groupe en un seul chiffre octal.

Binaire → Hex : même principe, mais par groupes de quatre.

C'est pourquoi les programmeurs préfèrent l'hexadécimal pour lire des dumps mémoire : deux chiffres hex correspondent exactement à un octet (8 bits = 2 groupes de 4 bits).

Applications pratiques

Programmation et débogage

• Codes couleur hexadécimaux en CSS et outils de design : #FF8800 signifie R = FF (255), G = 88 (136), B = 00 (0).
• Adresses mémoire dans les débogueurs, les traces de pile et les désassembleurs sont toujours affichées en hex (0x7fff8a3b0c40).
• Masques de bits et indicateurs sont souvent plus lisibles en binaire ou en hex qu'en décimal, car chaque chiffre correspond à des positions de bits spécifiques.
• Permissions de fichiers Unix : chmod 755 signifie que le propriétaire dispose de la lecture+écriture+exécution (7), et le groupe et les autres ont la lecture+exécution (5).

Systèmes embarqués et électronique

Les registres de microcontrôleurs, les configurations de broches GPIO et les fiches techniques de composants sont écrits en hex ou en binaire, car chaque bit a généralement une signification précise. Travailler en décimal masquerait cette structure.

Cryptographie et fonctions de hachage

Les empreintes comme SHA-256 (256 bits) et MD5 (128 bits) seraient illisibles en décimal. Elles sont donc universellement représentées en hexadécimal.

Cas particuliers et limites

• Zéro est identique dans toutes les bases. 0₂, 0₁₆ et 0₃₆ représentent tous la même valeur.
• Les nombres à un seul chiffre inférieurs à la base s'écrivent de façon identique. Le 7 est le même en bases 8, 10 et 16. En revanche, 8 est valide en décimal et en hex, mais invalide en octal — c'est ce que détecte l'erreur de validation de cette calculatrice.
• La casse des lettres n'a pas d'importance. FF, Ff et ff représentent tous la même valeur hexadécimale 255.
• Les nombres négatifs et les fractions ne sont pas pris en charge ici — c'est une calculatrice pour entiers positifs uniquement.

Exemples de vérification

FF (base 16) vers la base 2 donne 11111111 : un octet dont tous les bits sont à 1, soit la valeur maximale d'un entier non signé de 8 bits. La conversion inverse, 255 (base 10) vers la base 16, redonne FF. Ces trois représentations — FF₁₆, 11111111₂ et 255₁₀ — désignent le même entier.