Dernière mise à jour : 2026-06-29

La précision en virgule flottante

Les ordinateurs stockent les nombres réels sur un nombre fini de bits, si bien que la plupart des valeurs ne sont conservées que de façon approchée. Ce calculateur indique la précision des formats binaires IEEE 754 — demi-, simple, double et quadruple précision — en calculant l’epsilon machine, le nombre de chiffres décimaux fiables et l’espacement entre les valeurs représentables (l’ULP) à une valeur choisie. Ensemble, ces grandeurs expliquent pourquoi l’arithmétique en virgule flottante est précise sans être exacte.

Comment un flottant code un nombre

Un nombre IEEE 754 s’écrit comme un signe, une mantisse (les chiffres significatifs) et un exposant qui la met à l’échelle par une puissance de deux — à la manière de la notation scientifique en base 2. Chaque format fixe le nombre de bits attribués à la mantisse : la demi-précision dispose de 11 bits de mantisse, la simple précision de 24, la double précision de 53 et la quadruple précision de 113 (chaque décompte inclut un bit de poids fort implicite). Plus la mantisse compte de bits, plus la résolution est fine.

Epsilon machine

La mesure la plus claire de la résolution est l’epsilon machine, l’écart entre 1,0 et le nombre représentable immédiatement supérieur :

$\varepsilon = 2^{-(p-1)}$

où $p$ est le nombre de bits de mantisse. Pour la double précision, $\varepsilon = 2^{-52} \approx 2{,}22 \times 10^{-16}$. C’est une borne relative : tout nombre réel est stocké avec une erreur relative au plus égale à $\varepsilon / 2$. Le nombre fiable de chiffres décimaux significatifs en découle directement, soit $(p-1)\log_{10} 2$ — environ 15,7 pour la double précision.

ULP : un espacement qui croît avec l’ordre de grandeur

L’epsilon machine décrit l’espacement au voisinage de 1,0, mais les nombres en virgule flottante ne sont pas espacés régulièrement. L’écart entre deux valeurs représentables consécutives, l’unité en dernière position (ULP), varie avec l’ordre de grandeur :

$\text{ULP}(x) = 2^{\lfloor \log_2 |x| \rfloor - (p-1)}$

Près de 1 l’espacement vaut l’epsilon machine ; près de 1 000 il est environ mille fois plus grand. C’est pourquoi la virgule flottante conserve une précision relative constante tout en perdant en précision absolue à mesure que les nombres augmentent.

Exemple résolu

Prenons la double précision et la valeur 1000. L’exposant vaut $\lfloor \log_2 1000 \rfloor = 9$, donc :

La plus grande erreur d’arrondi au voisinage de 1000 en vaut la moitié, soit environ $5{,}7 \times 10^{-14}$. Un double peut donc distinguer 1000 de 1000,0000000000001 mais pas d’une valeur qui en diffère au seizième chiffre significatif.

Pourquoi 0,1 n’est pas exact

La virgule flottante binaire ne peut représenter que des sommes de puissances de deux, et 0,1 n’a pas de développement binaire fini — tout comme un tiers n’en a pas en décimal. Il est donc arrondi à la valeur représentable la plus proche, ce qui explique pourquoi 0.1 + 0.2 n’est pas exactement égal à 0.3 dans la plupart des langages. L’écart est de l’ordre de l’epsilon machine et généralement sans conséquence, mais il s’accumule au cours de longs calculs et c’est la raison pour laquelle l’argent est souvent stocké sous forme d’entiers ou dans un type décimal plutôt que comme un flottant. Pour savoir comment les entiers eux-mêmes sont codés en binaire, voir le Calculateur de complément à deux.