最終更新: 2026-07-02

ハミング符号のECCビット数

ハミング符号は、いくつかのパリティビットを付加することでデータブロックを保護します。あとで1つのビットが反転しても、失敗したパリティ検査のパターンがどの位置が変わったかを正確に指し示すため、復号器はそれを元に戻せます。唯一の設計上の問いは、与えられた大きさのブロックにパリティビットが何本必要か、という点だけです。

最小ビット数の条件

データビット数を $m$、パリティビット数を $r$ とします。パリティビットはまとまって $r$ ビットのシンドロームを成し、$2^r$ 通りの値を取れます。$n = m + r$ 個ある符号語の各位置には、反転したビットを指し示せるよう固有の非ゼロシンドロームが必要で、さらに1つの値が「誤りなし」を表すために予約されます。これが1ビット誤り訂正（SEC）の条件を与えます。

$$2^{r} \ge m + r + 1$$

$r$ が両辺に現れるため閉じた解はありません。必要なパリティ数は、この不等式を満たす最小の $r$ を $r = 1, 2, 3, \dots$ と順に試して求めるだけです。

計算例：データ8ビット

$m = 8$ として各候補を試します。

$r$	$2^{r}$	$m + r + 1$	$2^{r} \ge m + r + 1$
2	4	11	不成立
3	8	12	不成立
4	16	13	成立

最初に成立するのは $r = 4$ なので、8データビットには4パリティビットが必要です。

$$2^{4} = 16 \ge 8 + 4 + 1 = 13$$

符号語全体は

$$n = m + r = 8 + 4 = 12 \text{ ビット}$$

パリティのオーバーヘッドは

$$O = \frac{r}{n} = \frac{4}{12} \approx 33.3\%$$

ブロックが大きくなるとオーバーヘッドは減る

パリティ数はおおよそ $\log_2 m$ に比例して増えるため、大きなブロックほど検査ビットをより多くのデータに分散できます。次の表は一般的なブロックサイズを示します。

データビット $m$	パリティビット $r$	符号語 $n$	オーバーヘッド
1	2	3	66.7%
4	3	7	42.9%
8	4	12	33.3%
11	4	15	26.7%
16	5	21	23.8%
26	5	31	16.1%
32	6	38	15.8%
57	6	63	9.5%
64	7	71	9.9%
247	8	255	3.1%

古典的な (7, 4) ハミング符号——7ビット語に4データビット——は上から3行目に、(15, 11) 符号は4行目に位置します。

パリティビットの配置

標準的な配置では、パリティビットは2のべき乗の位置 1, 2, 4, 8, 16, … を占め、残りにデータビットが入ります。位置 $2^{k}$ のパリティビットは、添字の第 $k$ ビットが1である位置だけを担当するため、失敗した検査の集合がそのまま反転ビットの二進アドレスとして読み取れます。$n$ までの2のべき乗の位置の数は本ページが計算する $r$ と一致し、これが配置方式と最小ビット数の条件が常に整合する理由です。

SEC と SECDED

上記の条件は1ビット誤り訂正符号のものであり、任意の1ビット誤りを訂正しますが、真の2ビット誤りを1ビット誤りと区別することはできません。符号語全体に1本の全体パリティビットを加えると、1ビット誤り訂正・2ビット誤り検出（SECDED）符号になります。これは依然として任意の1ビット誤りを訂正し、さらに任意の2ビット誤りを（訂正はできませんが）検出します。SECDED では、パリティ数と全長にそれぞれ1を加えてください。「ECC」として販売されるメモリは通常 SECDED を用い、例えば64データビットを8検査ビットで保護します。

関連する見積もり

同じ長さの2つのビット列を比較し、いくつの位置が異なるかを数えるには——これは符号がいくつの誤りを捕捉できるかを決める指標です——ハミング距離の計算 を参照してください。位置を指し示すパリティではなくチェックサムを付加する別の誤り検出方式については、CRCチェックサム が巡回冗長検査を計算します。

よくある質問 (FAQ)

ハミング符号のパリティビットとは何ですか。

パリティビット（検査ビット）は、復号器が誤りを検出・訂正できるようにデータブロックへ付加する追加ビットです。1ビット誤り訂正（SEC）ハミング符号では、各パリティビットがデータ位置の特定の重なり合う部分集合をカバーします。1つのビットが反転すると、検査に失敗したパターン（シンドローム）がその位置を二進数で表すため、復号器は元に戻せます。

m 個のデータビットに対するパリティビット数 r は、2^r ≥ m + r + 1 を満たす最小の r です。8ビットのデータでは r = 4 となり、12ビットの符号語になります。

SEC と SECDED の違いは何ですか。

1ビット誤り訂正（SEC）ハミング符号は、符号語内の任意の1ビット誤りを訂正できますが、2ビット誤りを1ビット誤りと確実に区別することはできません。1ビット誤り訂正・2ビット誤り検出（SECDED）は、SEC符号にさらに全体パリティを1ビット加えたものです。この追加ビットにより、任意の1ビット誤りを訂正し、かつ任意の2ビット誤りを（訂正はできませんが）検出できます。

本ツールはSEC形式のパリティビット数を示します。SECDEDの場合は、パリティビット数と符号語全長にそれぞれ1を加えてください。「ECC」と表示されるサーバーメモリはSECDED符号を用いることが多く、例えば64データビットを8検査ビットで保護します。

なぜ不等式は 2^r ≥ m + r ではなく 2^r ≥ m + r + 1 なのですか。

r 個のパリティビットは r ビットのシンドロームを生成し、2^r 通りの値を取れます。n = m + r 個ある符号語の各位置には、反転した位置を特定できるよう固有の非ゼロシンドロームが必要です。さらに、もう1つの値（全ゼロのシンドローム）は「誤りは検出されなかった」ことを表すために予約されます。この予約された値が「+ 1」の由来であり、シンドロームは m + r 個の位置に加えて誤りなしの状態もカバーしなければなりません。すなわち 2^r ≥ (m + r) + 1 です。

パリティビットは符号語のどこに配置されますか。

古典的なハミング配置では、パリティビットは2のべき乗の位置（1, 2, 4, 8, 16, …）に置かれ、残りの位置にデータビットが入ります。各パリティビットを位置 2^k に置くことで、そのビットは添字の第 k ビットが1である位置だけを担当し、失敗した検査が誤りビットの二進アドレスとして読み取れるようになります。

n までの2のべき乗の位置の数は、本ツールが返す r と一致します。これが配置方式と最小ビット数の式が常に整合する理由です。