حاسبة عزم القصور الذاتي

الشكل والمحور	أسطوانة مصمتة أو قرص (المحور عبر المركز)
الكتلة	2 كجم
نصف القطر أو الطول	0.5 م

الشكل والمحور

أسطوانة مصمتة أو قرص (المحور عبر المركز)

الكتلة

2 كجم

نصف القطر أو الطول

0.5 م

حاسبة عزم القصور الذاتي

احسب عزم القصور الذاتي للأجسام الصلبة المعيارية — القرص والحلقة والكرة المصمتة والغلاف الكروي والقضيب — من كتلتها وأبعادها. كل شكل يستخدم المعادلة I = c·m·r² بمعامل c خاص به.

آخر تحديث: 2026-06-15

عزم القصور الذاتي

عزم القصور الذاتي للحركة الدورانية بمنزلة الكتلة للحركة الخطية: يُخبرك كم يقاوم الجسم تغيير معدل دورانه. لكنه يختلف عن الكتلة في أنه يعتمد على مكان توزيع المادة بالنسبة للمحور — الكتلة البعيدة عن المحور تؤثر أكثر بكثير من القريبة منه. تحسب هذه الآلة عزم القصور الذاتي للأشكال الهندسية المعيارية انطلاقاً من كتلتها وأبعادها.

الصيغة العامة

لجسم كتلته $m$ وبُعده المميز $r$ ، تتشارك الأشكال المعيارية الصيغة

I = c\,m\,r^2,

حيث $c$ معامل لا بُعدي يحدده شكل الجسم ومحور دورانه. نصف القطر يدخل مربّعاً، وهذا يفسر لماذا تصعب إدارة العجلة ذات الحافة الثقيلة أكثر من القرص المصمت بالكتلة ذاتها: إزاحة الكتلة نحو المحيط يرفع $I$ بشكل حاد.

معاملات الأشكال الشائعة

الشكل (المحور عبر المركز ما لم يُذكر غير ذلك)	المعامل $c$	المعادلة
أسطوانة مصمتة أو قرص	$\tfrac{1}{2}$	$I = \tfrac{1}{2}mr^2$
حلقة رفيعة أو طوق	$c_\text{hoop} = 1$	$I = mr^2$
كرة مصمتة	$\tfrac{2}{5}$	$I = \tfrac{2}{5}mr^2$
غلاف كروي رفيع	$\tfrac{2}{3}$	$I = \tfrac{2}{3}mr^2$
قضيب رفيع (المحور عبر المركز)	$\tfrac{1}{12}$	$I = \tfrac{1}{12}mL^2$
قضيب رفيع (المحور عبر أحد الطرفين)	$\tfrac{1}{3}$	$I = \tfrac{1}{3}mL^2$

للقضيب $L$ هو الطول الكامل؛ ولكل شكل آخر $r$ هو نصف القطر.

مثال محلول

قرص مصمت كتلته $m = 2\ \text{kg}$ ونصف قطره $r = 0.5\ \text{m}$ ، يدور حول محوره المركزي:

\begin{aligned} I &= \tfrac{1}{2}\,m\,r^2 \\ &= \tfrac{1}{2} \times 2 \times 0.5^2 \\ &= 0.25\ \text{kg·m}^2. \end{aligned}

استبدل القرص بحلقة بالكتلة ونصف القطر ذاتهما وسيقفز المعامل إلى $c_\text{hoop} = 1$ ، فيتضاعف عزم القصور الذاتي إلى $0.5\ \text{kg·m}^2$ — لأن كتلة الحلقة تتمركز كلها عند الحافة.

إزاحة المحور

المعاملات أعلاه مبنية على محاور محددة. لنقل المحور إلى موضع موازٍ، استخدم نظرية المحاور المتوازية:

I = I_\text{cm} + m\,d^2,

حيث $I_\text{cm}$ هو عزم القصور الذاتي حول محور موازٍ يمر بمركز الكتلة، و $d$ هو البُعد بين المحورين. معادلة "القضيب حول أحد طرفيه" هنا هي تطبيق مباشر لهذه النظرية على القضيب بإزاحة مقدارها $d = \tfrac{L}{2}$ ، ما يرفع المعامل من $\tfrac{1}{12}$ إلى $\tfrac{1}{3}$ .

أهمية عزم القصور الذاتي

حين تعرف $I$ ، تنتظم بقية الميكانيكا الدورانية: طاقة الحركة الدورانية هي $\tfrac{1}{2}I\omega^2$ ، والزخم الزاوي هو $I\omega$ ، وعزم الدوران اللازم لتسارع زاوي محدد هو $\tau = I\alpha$ . تحديد عزم القصور الذاتي بدقة هو الخطوة الأولى في كل هذه الحسابات.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو عزم القصور الذاتي؟

عزم القصور الذاتي هو المقابل الدوراني للكتلة: يقيس مدى مقاومة الجسم لتغيير معدل دورانه حول محور معين. الكتلة البعيدة عن المحور تؤثر أكثر بكثير من الكتلة القريبة منه، لأن نصف القطر يدخل في المعادلة مرفوعاً للمربع. ولهذا يختلف عزم القصور الذاتي للجسم نفسه باختلاف المحور، فلا بد دائماً من تحديد المحور المقصود.

من أين تأتي المعاملات ½ و⅖ وغيرها؟

كل معامل هو ناتج تكامل r² على توزيع الكتلة في ذلك الشكل. الحلقة الرفيعة تتركز كتلتها كلها عند الحافة فيكون c = 1. القرص المصمت يوزع الكتلة نحو المركز فيعطي c = ½. الكرة المصمتة تعطي ⅖، والغلاف الكروي الرفيع ⅔. القضيب حول مركزه يعطي 1/12، لكن حول أحد طرفيه تكون الكتلة أبعد عن المحور في المتوسط فيرتفع المعامل إلى ⅓.

هل أُدخل نصف القطر أم الطول؟

للقرص والحلقة والكرة المصمتة والغلاف الكروي أدخل نصف القطر — المسافة من المحور إلى الحافة. للقضيب أدخل طوله الكامل L؛ المعادلة تراعي تلقائياً موضع الكتلة بالنسبة للمحور المختار (المركز أو الطرف).

ماذا إذا كان المحور لا يمر بالمركز؟

استخدم نظرية المحاور المتوازية: I = I_cm + m·d²، حيث I_cm هو عزم القصور الذاتي حول محور موازٍ يمر بمركز الكتلة، وd هو المسافة بين المحورين. خيار "القضيب حول أحد طرفيه" هنا هو تطبيق لهذه النظرية على القضيب، إذ يُزاح المحور مسافة L/2 من المركز، ما يرفع المعامل من 1/12 إلى ⅓.

حاسبة عزم القصور الذاتي

المدخلات

حاسبة عزم القصور الذاتي

تفاصيل

تضمين هذه الآلة الحاسبة

مشاركة هذه العملية الحسابية

التالي الموصى به

حاسبة طاقة الحركة الدورانية

حاسبة الزخم الزاوي

حاسبة عزم الدوران

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

حاسبة عزم القصور الذاتي

المدخلات

المدخلات

النتائج

تفاصيل

عزم القصور الذاتي

الصيغة العامة

معاملات الأشكال الشائعة

مثال محلول

إزاحة المحور

أهمية عزم القصور الذاتي

الأسئلة الشائعة (FAQ)

التالي الموصى به

حاسبة طاقة الحركة الدورانية

حاسبة الزخم الزاوي

حاسبة عزم الدوران

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟