Zuletzt aktualisiert: 2026-05-19

Das Black-Scholes-Modell

Optionen sind Verträge, die dem Inhaber das Recht — aber nicht die Pflicht — einräumen, einen Basiswert zu einem festgelegten Ausübungspreis bis zum oder am Verfallstermin zu kaufen bzw. zu verkaufen. Den fairen Wert dieses Rechts zu bestimmen, ist die Kernaufgabe der Optionsbewertung. Das Black-Scholes-Modell, 1973 von Fischer Black und Myron Scholes veröffentlicht und im selben Jahr von Robert Merton um Dividendenrenditen erweitert, war die erste geschlossene Lösung. Mit fünf Marktparametern — Kassakurs, Ausübungspreis, Restlaufzeit, Volatilität und risikofreier Zinssatz — liefert das Modell den theoretischen Optionspreis sowie fünf Sensitivitätskennzahlen (die Griechen).

Die Black-Scholes-Formel

Das Modell setzt voraus, dass der Basiswert einer geometrischen Brownschen Bewegung folgt. Unter dieser Annahme und einem No-Arbitrage-Argument erfüllt der faire Preis einer europäischen Option eine partielle Differentialgleichung, deren Lösung lautet:

Call-Option:

Put-Option:

mit:

Die Variablen bedeuten:

Bedeutung von $d_1$ und $d_2$

$N(d_2)$ ist die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit, dass der Call bei Fälligkeit im Geld endet (d. h. der Kurs am Laufzeitende liegt über dem Ausübungspreis). $N(d_1)$ enthält eine zusätzliche Drift-Korrektur: Es ist die deltagewichtete Wahrscheinlichkeit, weshalb das Call-Delta gleich $e^{-qT} N(d_1)$ ist.

Die Formel lässt sich intuitiv lesen: Der Call-Preis entspricht dem erwarteten zukünftigen Kurs des Basiswerts (abgezinst um die Dividendenrendite) multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass der Kurs über dem Ausübungspreis endet, abzüglich des Barwerts des Ausübungspreises multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit der Ausübung.

Rechenbeispiel

Szenario: Bewertet wird eine 6-monatige Call-Option am Geld auf eine Aktie, die bei 100 € notiert; Ausübungspreis 100 €, Volatilität 25 %, risikofreier Zinssatz 3 % (Näherungswert für kurzfristige Bundesanleihen), keine Dividende.

• $S = 100$, $K = 100$, $T = 0{,}5$, $r = 0{,}03$, $q = 0$, $\sigma = 0{,}25$
• $\sigma\sqrt{T} = 0{,}25 \times \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}1768$
• $\sigma^2/2 = 0{,}03125$
• $d_1 = (0 + 0{,}06125 \times 0{,}5) / 0{,}1768 \approx 0{,}1732$
• $d_2 = 0{,}1732 - 0{,}1768 \approx -0{,}0036$
• $N(0{,}1732) \approx 0{,}5687$, $N(-0{,}0036) \approx 0{,}4986$
• $C = 100 \times 0{,}5687 - 100 \times e^{-0{,}015} \times 0{,}4986 \approx 56{,}87 - 49{,}11 \approx 7{,}76$

Der entsprechende Put (aus der Put-Call-Parität) hat einen Wert von ca. 6,27 €.

Die Griechen im Überblick

Optionshändler denken in Griechen — den Sensitivitätskennzahlen des Optionspreises gegenüber den Eingangsparametern. Der Rechner gibt alle fünf aus.

Delta (Δ) — Preissensitivität

Delta misst die Preisänderung der Option bei einem Anstieg des Basiswerts um 1 € (oder 1 Einheit in der Basiswährung).

• Call-Delta: stets zwischen 0 und +1. Ein Call am Geld hat Delta ≈ 0,5.
• Put-Delta: stets zwischen −1 und 0. Ein Put am Geld hat Delta ≈ −0,5.

Delta approximiert auch die Wahrscheinlichkeit, dass die Option bei Fälligkeit im Geld ist. Ein Call mit Delta 0,70 hat unter dem risikoneutralen Maß eine Wahrscheinlichkeit von ca. 70 %, im Geld zu verfallen. Händler nutzen Delta zur Konstruktion delta-neutraler Absicherungen: 100 Calls mit Delta 0,5 entsprechen einer Long-Position von 50 Aktien des Basiswerts.

Gamma (Γ) — Änderungsrate des Deltas

Gamma ist die zweite Ableitung des Optionspreises nach dem Kurs des Basiswerts. Es zeigt, wie schnell sich Delta verändert, wenn der Kurs schwankt. Gamma ist am größten, wenn die Option am Geld ist und kurz vor Fälligkeit steht — genau die Bedingungen, unter denen Delta sprunghaft von nahezu null auf nahezu eins wechseln kann.

Gamma ist für Long-Positionen (Calls und Puts) stets positiv und hat denselben Wert für einen Call und einen Put mit identischen Parametern. Wer „long Gamma" ist, profitiert von großen Kursbewegungen in jede Richtung; wer „short Gamma" ist (typischerweise ein Market-Maker), erleidet bei großen Bewegungen steigende Verluste.

Vega (ν) — Volatilitätssensitivität

Vega misst die Preisänderung der Option bei einem Anstieg der impliziten Volatilität um einen Prozentpunkt. Bei einem Vega von 0,28 € gewinnt die Option 0,28 €, wenn die Volatilität von 25 % auf 26 % steigt. Vega ist für Long- Optionen stets positiv — sowohl Calls als auch Puts werden wertvoller, wenn größere Kursschwankungen des Basiswerts erwartet werden.

Vega ist am größten bei Optionen am Geld mit langer Restlaufzeit. Optionen tief im oder aus dem Geld sowie sehr kurzlaufende Optionen haben ein niedriges Vega. Aus diesem Grund sind Kalenderspreads (long langlaufend / short kurzlaufend) eine gängige Strategie, um gezielt long Vega zu sein.

Theta (Θ) — Zeitwertverfall

Theta ist die Preisänderung der Option pro Kalendertag, der verstreicht, bei sonst unveränderten Parametern. Theta ist für Long-Optionen fast immer negativ — die Option verliert täglich an Wert, weil der Basiswert weniger Zeit hat, eine signifikante Bewegung zu vollziehen.

Der Rechner teilt durch 365, um Theta pro Kalendertag auszudrücken (manche Quellen verwenden 252 Handelstage — die Wahl beeinflusst die Größenordnung, nicht das Vorzeichen). Theta beschleunigt sich gegen Ende der Laufzeit: Eine Option am Geld verliert in ihrem letzten Monat deutlich schneller an Wert als in den ersten sechs Monaten.

Rho (ρ) — Zinssensitivität

Rho ist die Preisänderung der Option bei einem Anstieg des risikofreien Zinssatzes um einen Prozentpunkt. Call-Rho ist positiv (höhere Zinsen verringern den Barwert des Ausübungspreises, was den Call relativ günstiger finanzierbar macht). Put-Rho ist negativ.

Bei kurzlaufenden Aktienoptionen ist Rho im Vergleich zu Delta und Vega meist gering. Wichtiger wird es bei langlaufenden Optionen (z. B. LEAPS) sowie bei Optionen auf Währungen und Anleihen, wo Zinsdifferenzen die Bewertung maßgeblich beeinflussen.

Modellannahmen und Grenzen

Black-Scholes beruht auf mehreren vereinfachenden Annahmen. Wer sie kennt, kann einschätzen, wann der Preis zuverlässig ist und wann Skepsis angebracht ist.

Konstante Volatilität

Das Modell behandelt die Volatilität als feste Eingangsgröße. In der Realität variiert die implizite Volatilität je nach Ausübungspreis (Volatility Smile) und Laufzeit (Termstruktur). Eine Put-Option tief aus dem Geld wird typischerweise mit einer höheren impliziten Volatilität gehandelt als ein Call am Geld — der sogenannte „Volatility Skew", der die Nachfrage nach Absicherung gegen starke Kursrückgänge widerspiegelt. Black-Scholes behandelt alle Optionen so, als lebten sie auf einer einzigen flachen Volatilitätsfläche.

Nur europäische Ausübung

Black-Scholes bewertet Optionen, die ausschließlich bei Fälligkeit ausgeübt werden können. Amerikanische Optionen — die zu jedem Zeitpunkt vor Fälligkeit ausgeübt werden können — rechtfertigen gelegentlich eine vorzeitige Ausübung (insbesondere Puts und Calls auf dividendenstarke Aktien kurz vor dem Ex-Dividende-Termin). Für dividendenfreie Aktien wird ein amerikanischer Call niemals vorzeitig ausgeübt, sodass der Black-Scholes-Call-Preis dem amerikanischen Preis entspricht. Bei Puts und Dividendenfällen ist ein Binomialbaum oder ein Finite-Differenzen-Verfahren erforderlich.

Lognormale Renditen (keine Kurssprünge)

Das Modell setzt stetige, lognormalverteilte Renditen ohne abrupte Kurssprünge voraus. Aktienrenditen weisen in der Praxis ausgeprägte Extremwertverteilungen und diskontinuierliche Sprünge auf — etwa bei Quartalsergebnissen, EZB-Entscheidungen oder geopolitischen Ereignissen. Jump-Diffusion-Modelle (Merton 1976, Kou 2002) oder stochastische Volatilitätsmodelle (Heston 1993) berücksichtigen diese Effekte, benötigen aber mehr Eingangsparameter.

Kontinuierlicher Handel ohne Transaktionskosten

Die Herleitung setzt voraus, dass ein Delta-Hedge ohne Reibungsverluste kontinuierlich angepasst werden kann. In der Praxis entstehen durch Geld-Brief- Spannen und Handelsgebühren Kosten, sodass Delta-Hedging nur in diskreten Abständen vorgenommen wird. Dieser Diskretisierungsfehler ist ein Grund, warum Market-Maker für kurzlaufende Optionen nahe am Geld in der Regel mehr als den theoretischen Black-Scholes-Preis verlangen.

Typische Anwendungsfälle

Optionsbewertung: Primärer Einsatzzweck — vor einem Handel wird der Modellpreis mit dem Marktpreis verglichen, um einzuschätzen, ob eine Option relativ günstig oder teuer ist. Impliziert der Marktpreis eine höhere Volatilität als erwartet, könnte die Option überbewertet sein.

Implizite Volatilität: Aus dem Marktpreis wird durch Umkehrung der Formel die Volatilität errechnet, bei der Black-Scholes den Marktpreis reproduziert. Diese „implizite Vol" fasst Markterwartungen in einer einzigen Zahl zusammen und wird an Optionsbörsen notiert — etwa der VDAX-NEW als 30-Tage-IV der DAX-Optionen.

Absicherung: Delta, Gamma und Vega leiten an, wie viel des Basiswerts und anderer Optionen gehalten werden müssen, um spezifische Risiken zu neutralisieren. Ein delta-gesichertes Portfolio profitiert ausschließlich von Volatilitätsänderungen; ein vega-gesichertes Portfolio ist unempfindlich gegenüber Schwankungen der impliziten Volatilität.

Vergütungsbewertung: Unternehmen nutzen Black-Scholes zur Bewertung von Mitarbeiteraktienoptionen nach IFRS 2 oder dem Anhang des Handelsgesetzbuchs (HGB). In der Praxis wird die erwartete Laufzeit gegenüber der vertraglichen Laufzeit reduziert, um Nicht-Übertragbarkeit und Vorfälligkeitsausübung zu berücksichtigen.