Rabatt-Rechner (mehrere Rabatte kombiniert)
Eingaben
| Ausgangspreis | 100 $ |
|---|---|
| Mehrwertsteuersatz | 0 % |
Rabatt-Rechner (mehrere Rabatte kombiniert)
„30 % Rabatt plus zusätzlich 20 %" ergibt nicht 50 %, sondern 44 %. Der Rechner ermittelt den Endpreis aus mehreren aufeinanderfolgenden prozentualen Rabatten und stellt diesen dem hypothetischen Einzelrabatt in Höhe der einfachen Summe gegenüber. Kombinierte Rabatte werden multipliziert, nicht addiert.
Eingaben
Preis und Mehrwertsteuer
Rabatte
- 1%Ein einzelner prozentualer Nachlass, der multiplikativ auf den Preis nach den darüberliegenden Zeilen wirkt. Für jede Aktion eine eigene Zeile anlegen – Filialaktion, Kundenkartenrabatt, Gutschein und so weiter.
- 2%Ein einzelner prozentualer Nachlass, der multiplikativ auf den Preis nach den darüberliegenden Zeilen wirkt. Für jede Aktion eine eigene Zeile anlegen – Filialaktion, Kundenkartenrabatt, Gutschein und so weiter.
Ergebnisse
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Details
Kombinierter Rabatt gegen Einzelrabatt
Was ist ein gestaffelter Rabatt
Ein gestaffelter Rabatt ist eine Folge prozentualer Nachlässe, bei der jeder Rabatt auf den Preis nach dem jeweils vorhergehenden Rabatt angewendet wird. Solche Rabatte wirken multiplikativ, nicht additiv: „30 % und zusätzlich 20 %" ergeben einen effektiven Nachlass von 44 %, nicht von 50 %.
Multiplikative Wirkung
Ein einzelner Rabatt auf einen Preis hinterlässt eine Zahlung von . Beim Staffeln greift jeder weitere Rabatt am Preis an, der den vorherigen Rabatt bereits überstanden hat, und nicht am Ausgangspreis. Deshalb summieren sich die Prozentsätze nicht: Der zweite Rabatt bezieht sich auf eine kleinere Grundlage als der erste, sodass der Gesamtnachlass stets unter der einfachen Summe der einzelnen Sätze liegt.
Der effektive Rabatt
Der effektive Rabatt ist der einzelne Prozentnachlass, der denselben Endpreis erzeugt wie eine Folge gestaffelter Rabatte. Bei 30 % gefolgt von 20 % beträgt er 44 % — der Endpreis ist identisch mit dem nach einem einmaligen Abzug von 44 %.
Die Formel
Zwei kombinierte Rabatte und führen zu einem Endpreis von:
P⋅(1−d1)⋅(1−d2)Allgemein gilt für gestaffelte Rabatte:
Endpreis=P⋅i=1∏n(1−di)Der effektive Rabatt — jener einzelne Prozentsatz, der den gleichen Endpreis erzeugt — ist somit:
deff=1−i=1∏n(1−di)Sobald mindestens zwei Rabatte ungleich null sind, liegt dieser Wert strikt unter , weil $(1-a)(1-b) = 1 - a - b + ab > 1 - a - b$ für alle $a, b > 0$.
Durchgerechnetes Beispiel
Ein Artikel zum Preis von 100 € mit 30 % Rabatt und zusätzlichen 20 %:
| Schritt | Rechnung | Preis |
|---|---|---|
| Ausgangspreis | 100 € | |
| Nach 30 % Rabatt | 100 × 0,70 | 70 € |
| Nach weiteren 20 % Rabatt | 70 × 0,80 | 56 € |
| Einmaliger Rabatt von 50 % (Summe) | 100 × 0,50 | 50 € |
| Differenz | 6 € |
Die Ersparnis beträgt 44 €, nicht 50 €; der effektive Rabatt liegt bei 44 %, nicht bei 50 %. Gegenüber einem direkten Rabatt von 50 % fällt der Nachlass um 6 € geringer aus.
Häufige Rabattkombinationen
| Angezeigt | Effektiver Rabatt |
|---|---|
| 30 % + 20 % | 44 % |
| 30 % + 30 % | 51 % |
| Halbpreis + nochmals Halbpreis | 75 % |
| 50 % + 20 % | 60 % |
| 10 % × 5 Mal | 41 % |
Bei drei oder mehr gestaffelten Rabatten ergibt sich der Effekt durch fortgesetzte Multiplikation: Fünf Rabatte von je 10 % stapeln sich zu , nicht zu 50 %.
Reihenfolge bei reinen Prozentrabatten
Multiplikation ist kommutativ: $(1 - 0{,}30)(1 - 0{,}20) = (1 - 0{,}20)(1 - 0{,}30) = 0{,}56$. Ob die Kasse zuerst den Filialrabatt oder zuerst den Gutschein zieht, ist für den Endpreis ohne Belang — jedenfalls bei reinen Prozentrabatten.
Sobald Eurobeträge ins Spiel kommen, wird die Reihenfolge relevant. Auf einen Artikel zu 100 € angewendet ergibt „10 € abziehen, dann 20 %": 90 × 0,80 = 72 €. „20 % abziehen, dann 10 €" hingegen: 80 − 10 = 70 €. Der Eurogutschein ist umso mehr wert, je höher der Preis zum Zeitpunkt seiner Anwendung ist. Dieser Rechner deckt den reinen Prozentfall ab; Gutscheine mit festem Betrag sind separat zu berücksichtigen.
Faustformel fürs Kopfrechnen
Für zwei Rabatte und liegt der Unterschied zwischen der einfachen Summe und dem effektiven Rabatt bei :
deff=(d1+d2)−d1⋅d2Bei genau zwei Rabatten gilt diese Formel exakt, nicht als Näherung. Bei drei oder mehr Rabatten kommen Terme höherer Ordnung hinzu, sodass sie zur Näherung wird — in der Praxis aber mit ausreichender Genauigkeit.
Beispiele:
- 30 % + 20 % → es entfallen → rund 44 % (exakt 44 %).
- 40 % + 30 % → es entfallen 0,12 → rund 58 % (exakt 58 %).
- 25 % + 25 % → es entfallen 0,0625 → rund 43,75 % (exakt 43,75 %).
Mehrwertsteuer
Die Mehrwertsteuer wird auf den rabattierten Nettopreis berechnet — genau so verfährt der Rechner, sobald ein Steuersatz größer null eingegeben wird. Einige Steuersysteme besteuern hingegen den Listenpreis vor Rabatt; in diesem Fall ist die Steuer separat aus dem Ausgangspreis zu ermitteln und zum rabattierten Nettobetrag zu addieren.
Anwendung
Gestaffelte Rabatte erscheinen häufig in Werbeaktionen, etwa als Filialrabatt kombiniert mit einem Kundenkartennachlass oder einem Gutschein. Da der angezeigte Wert „30 % + 20 %" nicht dem effektiven Nachlass von 44 % entspricht, hilft die Rechnung, den tatsächlichen Endpreis vom beworbenen Eindruck zu unterscheiden. Bei realen Aktionen sind zusätzlich Betragsgrenzen, ausgeschlossene Artikel und die festgelegte Reihenfolge der Aktionsbedingungen zu beachten.
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Warum sind „30 % plus zusätzlich 20 %" nicht 50 %?
Weil der zweite Rabatt vom bereits reduzierten Preis abgezogen wird, nicht vom Originalpreis. 30 % auf 100 € hinterlassen 70 €; 20 % auf 70 € sind 14 €, am Ende stehen 56 €. Bei einem einzelnen Rabatt von 50 % blieben 50 € übrig. Der effektive Nachlass beträgt also 44 %, und der Endpreis liegt um 6 € höher als bei einem direkten Rabatt von 50 %.
Spielt die Reihenfolge der gestaffelten Rabatte eine Rolle?
Bei reinen Prozentrabatten nein. Multiplikation ist kommutativ: (1 − 0,30)(1 − 0,20) = (1 − 0,20)(1 − 0,30) = 0,56. Sobald jedoch ein Betragsrabatt – etwa ein 10-Euro-Gutschein – ins Spiel kommt, hängt das Ergebnis sehr wohl von der Reihenfolge ab. Dieser Rechner deckt den reinen Prozentfall ab.
Gibt es eine schnelle Faustformel für den effektiven Rabatt?
Bei zwei Rabatten d₁ und d₂ ist die Lücke zwischen der einfachen Summe und dem effektiven Rabatt ungefähr d₁ · d₂. Bei 30 % + 20 % entfallen also etwa 0,30 × 0,20 = 6 Prozentpunkte, womit sich rund 44 % ergeben (exakt 44 %). Bei 40 % + 30 % entfallen ungefähr 12 Punkte, also rund 58 %. Für eine Überschlagsrechnung im Kopf genügt diese Faustformel.
Wie wird die Mehrwertsteuer behandelt?
Die Mehrwertsteuer wird auf den rabattierten Preis berechnet – genauso geht der Rechner vor. Bei manchen Steuersystemen wird die Steuer auf den Originalpreis erhoben; in diesem Fall die Steuer separat aus dem Ausgangspreis ermitteln und zum rabattierten Nettopreis addieren.
Haftungsausschluss
Es wird angenommen, dass alle Rabatte prozentual sind und multiplikativ auf den jeweils verbleibenden Preis wirken. Reale Aktionen begrenzen mitunter den Betrag, schließen Artikel aus oder kombinieren prozentuale mit Eurobeträgen in fester Reihenfolge – das Kleingedruckte des Händlers ist maßgeblich. Die Mehrwertsteuer wird auf den Nettopreis nach Rabatt berechnet, was dem deutschen Standardfall entspricht.