Última actualización: 2026-05-19

El modelo Black-Scholes

Las opciones son contratos que otorgan al comprador el derecho —pero no la obligación— de comprar o vender un activo subyacente a un precio de ejercicio fijo en una fecha determinada o antes de ella. Determinar cuánto vale ese derecho es el problema central de la valoración de derivados. El modelo Black-Scholes, presentado por Fischer Black y Myron Scholes en 1973 (y ampliado con dividendos por Robert Merton ese mismo año), fue la primera solución analítica cerrada. Introduciendo cinco parámetros de mercado —precio del subyacente, strike, tiempo hasta el vencimiento, volatilidad y tipo libre de riesgo— el modelo devuelve el precio teórico de la opción y cinco medidas de sensibilidad (las griegas).

La fórmula Black-Scholes

El modelo supone que el subyacente sigue un movimiento browniano geométrico. Bajo ese supuesto y un argumento de ausencia de arbitraje, el precio justo de una opción europea satisface una ecuación en derivadas parciales cuya solución es:

Opción call:

Opción put:

donde:

Las variables del modelo son:

La intuición detrás de $d_1$ y $d_2$

$N(d_2)$ es la probabilidad neutral al riesgo de que la call expire en dinero (precio del subyacente al vencimiento superior al strike). $N(d_1)$ incorpora un ajuste por deriva adicional: representa la probabilidad ponderada por delta, razón por la que la delta de una call es $e^{-qT} N(d_1)$.

La fórmula se lee de forma natural: la call vale la esperanza del precio futuro del subyacente (descontado por la rentabilidad por dividendo) multiplicada por la probabilidad de que la acción supere el strike, menos el valor presente del strike multiplicado por la probabilidad de ejercicio.

Ejemplo resuelto

Escenario: Consideremos una call a 6 meses sobre una acción del Ibex 35 que cotiza a 50 €, con strike de 50 €, volatilidad anual del 22%, tipo libre de riesgo del 3,5% (referenciado a Letras del Tesoro españolas a 6 meses) y sin dividendo.

• $S = 50$, $K = 50$, $T = 0{,}5$, $r = 0{,}035$, $q = 0$, $\sigma = 0{,}22$
• $\sigma\sqrt{T} = 0{,}22 \times \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}1556$
• $\sigma^2/2 = 0{,}0242$
• $d_1 = (0 + 0{,}0592 \times 0{,}5) / 0{,}1556 \approx 0{,}1902$
• $d_2 = 0{,}1902 - 0{,}1556 \approx 0{,}0346$
• $N(0{,}1902) \approx 0{,}5754$, $N(0{,}0346) \approx 0{,}5138$
• $C = 50 \times 0{,}5754 - 50 \times e^{-0{,}0175} \times 0{,}5138 \approx 28{,}77 - 25{,}25 \approx 3{,}53\ €$

La put equivalente (por la paridad call-put) valdría aproximadamente 2,70 €.

Las griegas: sensibilidades del precio de la opción

Los operadores de opciones trabajan con las griegas, que cuantifican la sensibilidad del precio de la opción respecto a cada variable. La calculadora ofrece las cinco principales.

Delta (Δ) — sensibilidad al precio del subyacente

La delta mide la variación del precio de la opción por cada euro de subida del subyacente.

• Delta de la call: siempre entre 0 y +1. Una call a dinero tiene delta ≈ 0,5.
• Delta de la put: siempre entre −1 y 0. Una put a dinero tiene delta ≈ −0,5.

La delta también aproxima la probabilidad de vencimiento en dinero bajo la medida neutral al riesgo. Una call con delta 0,7 tiene aproximadamente un 70% de probabilidades de expirar en dinero. Los operadores utilizan la delta para calcular coberturas delta-neutrales: tener 100 calls con delta 0,5 equivale a una posición larga en 50 acciones del subyacente.

Gamma (Γ) — tasa de variación de la delta

La gamma es la segunda derivada del precio de la opción respecto al subyacente. Indica la rapidez con la que cambia la delta cuando se mueve el subyacente. La gamma alcanza su máximo cuando la opción está a dinero y próxima al vencimiento —las mismas condiciones en las que la delta puede pasar de casi cero a casi uno de forma imprevisible.

La gamma siempre es positiva para posiciones largas en opciones (tanto calls como puts) y es idéntica para una call y una put con los mismos parámetros. Un operador "largo en gamma" se beneficia de movimientos bruscos del subyacente en cualquier dirección; uno "corto en gamma" (habitualmente un creador de mercado) acumula pérdidas crecientes ante movimientos amplios.

Vega (ν) — sensibilidad a la volatilidad

La vega mide la variación del precio de la opción por cada punto porcentual de aumento en la volatilidad implícita. Si la vega es 0,35 €, la opción gana 0,35 € cuando la volatilidad sube del 22% al 23%. La vega es siempre positiva para posiciones largas: tanto calls como puts se revalorizan cuando se espera un mayor movimiento del subyacente.

La vega es máxima para opciones a dinero con amplio plazo residual. Las opciones profundamente en dinero o fuera del dinero, y las de vencimiento muy próximo, tienen vega baja. Por eso los diferenciales de calendario (largo en vencimiento lejano / corto en vencimiento próximo) son una forma habitual de tomar posición larga en vega.

Theta (Θ) — erosión temporal

La theta es la variación del precio de la opción por cada día natural transcurrido, manteniendo el resto de variables constantes. La theta es casi siempre negativa para posiciones largas: la opción pierde valor cada día porque se reduce el tiempo disponible para que el subyacente alcance un nivel favorable.

La calculadora divide por 365 para expresar la theta por día natural (algunos textos usan 252 días hábiles; la elección afecta a la magnitud pero no al signo). La erosión temporal se acelera hacia el vencimiento: una opción a dinero pierde valor más rápidamente en su último mes que en sus primeros seis meses de vida.

Rho (ρ) — sensibilidad al tipo de interés

La rho es la variación del precio de la opción por cada punto porcentual de aumento en el tipo libre de riesgo. La rho de una call es positiva (tipos más altos reducen el valor presente del strike, lo que abarata la financiación de la call). La rho de una put es negativa.

Para opciones sobre acciones a corto plazo, la rho suele ser pequeña en comparación con la delta y la vega. Cobra mayor importancia en opciones a largo plazo (equivalentes a los LEAPS del mercado estadounidense) y en opciones sobre divisas y bonos, donde los diferenciales de tipos de interés son determinantes del precio.

Supuestos y limitaciones del modelo

Black-Scholes se construye sobre varios supuestos simplificadores. Conocerlos ayuda a saber cuándo el precio es fiable y cuándo conviene ser prudente.

Volatilidad constante

El modelo acepta la volatilidad como un parámetro fijo. En la práctica, la volatilidad implícita varía según el strike (sonrisa de volatilidad) y el plazo (estructura temporal). Una put profundamente fuera del dinero suele negociarse con mayor volatilidad implícita que una call a dinero —el denominado "sesgo de volatilidad" que refleja la demanda de protección frente a caídas bruscas. Black-Scholes trata todas las opciones como si vivieran sobre una superficie plana y uniforme.

Solo ejercicio europeo

Black-Scholes valora opciones ejercitables únicamente al vencimiento. Las opciones americanas —ejercitables en cualquier momento antes del vencimiento— pueden justificar el ejercicio anticipado (en particular las puts y las calls sobre acciones de alto dividendo próximas a la fecha ex-dividendo). Para acciones sin dividendo, la call americana nunca se ejerce anticipadamente, por lo que el precio de Black-Scholes coincide con el precio americano. Para puts y casos con dividendo se requiere un árbol binomial o un método en diferencias finitas.

Rendimientos log-normales sin saltos

El modelo supone rendimientos continuos con distribución log-normal y sin discontinuidades bruscas. Los rendimientos bursátiles reales presentan colas pesadas y saltos discontinuos en torno a resultados empresariales, decisiones de bancos centrales y eventos geopolíticos. Los modelos de difusión con saltos (Merton 1976, Kou 2002) o de volatilidad estocástica (Heston 1993) abordan esta limitación a costa de parámetros adicionales.

Negociación continua sin costes de transacción

La deducción supone que se puede reequilibrar continuamente una cobertura delta sin ningún tipo de fricción. En la práctica, los diferenciales de compra-venta y las comisiones hacen que la cobertura delta se realice a intervalos discretos. Este error de discretización es una razón por la que los creadores de mercado cobran más que el precio teórico de Black-Scholes por opciones a corto plazo próximas al dinero.

Aplicaciones habituales

Valoración de opciones: el uso principal. La comparación del precio teórico con el precio de mercado permite estimar si la opción está relativamente cara o barata. Cuando el precio de mercado implica una volatilidad superior a la esperada, la opción tiende a estar sobrevalorada.

Volatilidad implícita: dado el precio de mercado, se despeja el valor de volatilidad que hace que Black-Scholes lo reproduzca. Esta "vol implícita" resume las expectativas del mercado en un único número y se cotiza en los mercados de opciones (el VSTOXX, por ejemplo, es la volatilidad implícita a 30 días de las opciones sobre el EuroStoxx 50).

Cobertura: delta, gamma y vega orientan sobre qué cantidad del subyacente y de otras opciones conviene mantener para neutralizar riesgos específicos. Una cartera con cobertura delta obtiene beneficios solo de la volatilidad; una cartera con cobertura vega es insensible a cambios en la volatilidad implícita.

Valoración de opciones sobre acciones para empleados (OAE): las empresas aplican Black-Scholes para valorar las opciones sobre acciones entregadas como retribución, a efectos contables (NIIF 2 / NIC 26). Se realizan ajustes por la no transferibilidad y el ejercicio anticipado, generalmente mediante una reducción del plazo efectivo.