Calcolatore Black-Scholes per il Prezzo delle Opzioni

Ultimo aggiornamento: 2026-05-19

Che cos'è il modello Black-Scholes?

Le opzioni sono contratti che conferiscono al detentore il diritto — ma non l'obbligo — di acquistare o vendere un'attività sottostante a un prezzo fisso (prezzo di esercizio o strike) entro una certa data di scadenza. Determinare il valore di questo diritto è il problema centrale della valutazione delle opzioni. Il modello Black-Scholes, introdotto da Fischer Black e Myron Scholes nel 1973 (e esteso ai dividendi da Robert Merton nello stesso anno), è stato il primo metodo analitico in forma chiusa. Bastano cinque parametri di mercato — prezzo spot, strike, tempo alla scadenza, volatilità e tasso privo di rischio — per ottenere il prezzo teorico dell'opzione e le cinque misure di sensibilità (i Greci).

La formula di Black-Scholes

Il modello ipotizza che il sottostante segua un moto browniano geometrico. Sotto questa ipotesi e un argomento di non-arbitraggio, il prezzo equo di un'opzione europea soddisfa un'equazione differenziale parziale la cui soluzione è:

Opzione call:

Opzione put:

dove:

Le variabili sono:

L'intuizione dietro $d_1$ e $d_2$

$N(d_2)$ è la probabilità neutrale al rischio che la call scada in the money (prezzo a scadenza superiore allo strike). $N(d_1)$ incorpora una correzione per la deriva: rappresenta la probabilità ponderata per il delta, ed è per questo che il delta di una call è pari a $e^{-qT} N(d_1)$.

La formula si legge naturalmente: la call vale il valore atteso del prezzo futuro dell'azione (attualizzato al rendimento da dividendo) moltiplicato per la probabilità che l'azione superi lo strike, meno il valore attuale dello strike moltiplicato per la probabilità di esercizio.

Esempio pratico

Scenario: Si valuta una call alla pari a 6 mesi su un'azione quotata a 100 €, strike 100 €, volatilità annua 25%, tasso privo di rischio 3,5% (in linea con i BTP a breve termine), nessun dividendo.

• $S = 100$, $K = 100$, $T = 0{,}5$, $r = 0{,}035$, $q = 0$, $\sigma = 0{,}25$
• $\sigma\sqrt{T} = 0{,}25 \times \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}1768$
• $\sigma^2/2 = 0{,}03125$
• $d_1 = (0 + 0{,}06625 \times 0{,}5) / 0{,}1768 \approx 0{,}1873$
• $d_2 = 0{,}1873 - 0{,}1768 \approx 0{,}0105$
• $N(0{,}1873) \approx 0{,}5742$, $N(0{,}0105) \approx 0{,}5042$
• $C = 100 \times 0{,}5742 - 100 \times e^{-0{,}0175} \times 0{,}5042 \approx 57{,}42 - 49{,}54 \approx 7{,}88$

La corrispondente put (dalla parità put-call) vale circa 6,14 €.

I Greci spiegati

I trader di opzioni ragionano in termini di Greci — le sensibilità del prezzo dell'opzione rispetto a ciascun parametro. Il calcolatore restituisce tutti e cinque.

Delta (Δ) — sensibilità al prezzo

Il delta misura la variazione del prezzo dell'opzione per un aumento di 1 € del sottostante.

• Delta della call: sempre compreso tra 0 e +1. Una call alla pari ha delta ≈ 0,5.
• Delta della put: sempre compreso tra −1 e 0. Una put alla pari ha delta ≈ −0,5.

Il delta approssima anche la probabilità di scadere in the money. Una call con delta 0,7 ha circa il 70% di probabilità di scadere in the money sotto la misura neutrale al rischio. I trader usano il delta per dimensionare coperture delta-neutrali: detenere 100 call con delta 0,5 equivale a possedere 50 azioni del sottostante.

Gamma (Γ) — velocità di variazione del delta

Il gamma è la derivata seconda del prezzo dell'opzione rispetto al prezzo del sottostante. Indica quanto rapidamente il delta cambia al variare dell'azione. Il gamma è massimo quando l'opzione è alla pari e prossima alla scadenza — le stesse condizioni in cui il delta può passare imprevedibilmente da quasi zero a quasi uno.

Il gamma è sempre positivo per le posizioni lunghe in opzioni (sia call che put) ed è identico per una call e una put con gli stessi parametri. Un trader "long gamma" beneficia di grandi movimenti in entrambe le direzioni; un trader "short gamma" (tipicamente un market-maker) subisce perdite accelerate su movimenti ampi.

Vega (ν) — sensibilità alla volatilità

Il vega misura la variazione del prezzo dell'opzione per un aumento di un punto percentuale della volatilità implicita. Se il vega è 0,28 €, l'opzione guadagna 0,28 € quando la volatilità passa dal 25% al 26%. Il vega è sempre positivo per le posizioni lunghe — sia le call che le put si apprezzano all'aumentare della volatilità attesa.

Il vega è maggiore per le opzioni alla pari con ampio tempo residuo. Le opzioni profondamente in- o out-of-the-money e quelle a scadenza ravvicinata hanno vega basso. Per questo motivo, gli spread calendari (long sulla scadenza lontana / short sulla scadenza vicina) sono un modo comune per andare long vega.

Theta (Θ) — decadimento temporale

Il theta è la variazione del prezzo dell'opzione al passare di un giorno solare, a parità di tutto il resto. Il theta è quasi sempre negativo per le posizioni lunghe: l'opzione perde valore ogni giorno che trascorre, poiché rimane meno tempo per un movimento significativo del sottostante.

Il calcolatore divide per 365 per esprimere il theta per giorno solare (alcuni testi usano 252 giorni di borsa — la scelta cambia la magnitudine ma non il segno). Il theta accelera avvicinandosi alla scadenza: un'opzione alla pari perde valore più rapidamente nell'ultimo mese che nei primi sei mesi di vita.

Rho (ρ) — sensibilità al tasso di interesse

Il rho è la variazione del prezzo dell'opzione per un aumento di un punto percentuale del tasso privo di rischio. Il rho di una call è positivo (tassi più alti riducono il valore attuale dello strike, rendendo la call più conveniente da finanziare). Il rho di una put è negativo.

Per le opzioni azionarie a breve scadenza, il rho è solitamente trascurabile rispetto al delta e al vega. Diventa più rilevante per le opzioni a lunga scadenza (LEAPS) e per le opzioni su valute e obbligazioni, dove i differenziali di tasso guidano la valutazione.

Ipotesi e limitazioni del modello

Black-Scholes si basa su alcune ipotesi semplificative. Capirle aiuta a sapere quando il prezzo è affidabile e quando è opportuno essere cauti.

Volatilità costante

Il modello assume la volatilità come input fisso. In realtà, la volatilità implicita varia tra diversi strike (smile di volatilità) e scadenze (struttura a termine). Un'opzione put profondamente out-of-the-money quota tipicamente a una volatilità implicita più alta di una call alla pari — il cosiddetto "skew di volatilità" che riflette la domanda di protezione da eventi estremi. Black-Scholes tratta tutte le opzioni come se vivessero su una superficie piatta.

Solo esercizio europeo

Black-Scholes prezza opzioni esercitabili solo alla scadenza. Le opzioni americane — esercitabili in qualsiasi momento prima della scadenza — talvolta rendono ottimale l'esercizio anticipato (in particolare per le put e per le call su azioni ad alto dividendo vicino alla data di stacco). Su azioni senza dividendo, la call americana non viene mai esercitata anticipatamente, quindi il prezzo Black-Scholes della call europea coincide con quello americano. Per le put e i casi con dividendo, è necessario un albero binomiale o un metodo alle differenze finite.

Rendimenti log-normali (senza salti)

Il modello ipotizza rendimenti continui e log-normalmente distribuiti, senza salti improvvisi. I rendimenti azionari reali hanno code pesanti e discontinuità attorno alle pubblicazioni degli utili, alle decisioni delle banche centrali e agli eventi geopolitici. I modelli jump-diffusion (Merton 1976, Kou 2002) o i modelli a volatilità stocastica (Heston 1993) affrontano questo aspetto al costo di parametri aggiuntivi.

Negoziazione continua e assenza di costi di transazione

La derivazione assume che sia possibile ribilanciare continuamente una copertura delta senza alcuna frizione. In pratica, spread denaro-lettera e commissioni fanno sì che il delta-hedging venga eseguito a intervalli discreti. Questo errore di discretizzazione è una delle ragioni per cui i market-maker applicano un sovrapprezzo rispetto al prezzo teorico Black-Scholes per le opzioni alla pari a breve scadenza.

Principali utilizzi

Valutazione delle opzioni: L'utilizzo primario — prima di eseguire un'operazione, si confronta il prezzo del modello con quello di mercato per valutare se l'opzione è relativamente economica o costosa. Se il prezzo di mercato implica una volatilità superiore alle proprie aspettative, l'opzione potrebbe essere sopravvalutata.

Volatilità implicita: Dato un prezzo di mercato, si ricava il valore di volatilità che fa coincidere il prezzo Black-Scholes con quello osservato. Questa "volatilità implicita" riassume le aspettative del mercato in un singolo numero ed è quotata sulle borse di opzioni (ad esempio, il VSTOXX misura la volatilità implicita a 30 giorni sulle opzioni Euro Stoxx 50).

Copertura (hedging): Delta, gamma e vega guidano quante unità del sottostante e di altre opzioni detenere per neutralizzare rischi specifici. Un portafoglio delta-hedgiato trae profitto solo dalla volatilità; un portafoglio vega-hedgiato è insensibile alle variazioni di volatilità implicita.

Valutazione della remunerazione variabile: Le società utilizzano Black-Scholes per valorizzare le stock option dei dipendenti (ESO) ai fini contabili (IFRS 2) — incluse le opzioni sui piani di incentivazione a lungo termine (LTI) comuni nelle grandi aziende italiane quotate. In genere si applica una correzione per la non trasferibilità e l'esercizio anticipato tramite un termine effettivo ridotto.