Última atualização: 2026-06-29

Fila M/M/1

A fila M/M/1 é o modelo fundamental da teoria de filas: um único servidor atendendo requisições que chegam aleatoriamente, com tempos de atendimento aleatórios. A partir de apenas dois números — a rapidez com que as requisições chegam e a rapidez com que o servidor consegue processá-las — ela prevê a espera média, o tempo de resposta médio e o quanto a fila cresce. A calculadora retorna todos esses valores junto com a utilização do servidor.

O que o nome significa

A notação segue a classificação de Kendall. O primeiro M indica que as chegadas são Markovianas — seguem um processo de Poisson, o que significa que cada chegada é independente e a contagem em qualquer intervalo é aleatória. O segundo M indica que os tempos de atendimento são distribuídos exponencialmente. O 1 é o número de servidores. Assim, M/M/1 é "chegadas aleatórias, atendimento aleatório, um servidor, fila ilimitada, atendida por ordem".

A utilização determina tudo

A grandeza mais importante é a utilização, a fração do tempo em que o servidor está ocupado:

$\rho = \dfrac{\lambda}{\mu}$

em que $\lambda$ é a taxa de chegada e $\mu$ é a taxa de atendimento, ambas na mesma unidade de tempo. O sistema só é estável quando $\rho < 1$; se as requisições chegam pelo menos tão rápido quanto podem ser atendidas, o acúmulo cresce sem limite. A partir de $\rho$, seguem-se as médias em regime estacionário:

$L = \dfrac{\rho}{1 - \rho}, \qquad L_q = \dfrac{\rho^2}{1 - \rho}$

$W = \dfrac{1}{\mu - \lambda}, \qquad W_q = \dfrac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}$

Aqui, $L$ é o número médio no sistema, $L_q$ o número médio aguardando, $W$ o tempo de resposta médio e $W_q$ a espera média antes do atendimento.

Exemplo resolvido

Um servidor processa 10 requisições por segundo ($\mu = 10$) e recebe 8 por segundo ($\lambda = 8$). A utilização é $\rho = 0,8$, e:

Então uma requisição passa, em média, meio segundo no sistema, e quatro requisições estão presentes a qualquer momento. Mesmo que o servidor esteja apenas 80% ocupado, o tempo de resposta é cinco vezes o tempo de atendimento bruto de 0,1 s — a maior parte dele é espera.

O perigo da alta utilização

Como $(1 - \rho)$ aparece no denominador de todas as fórmulas, as métricas sobem acentuadamente à medida que o servidor se aproxima da saturação. A 90% de utilização, o número médio no sistema é 9; a 95%, é 19; a 99%, é 99. Essa explosão não linear é o motivo pelo qual quem planeja capacidade deixa folga em vez de operar recursos perto de 100%. A mesma ideia de média fundamenta a Calculadora da Lei de Little, que relaciona concorrência, vazão e latência sem pressupor qualquer distribuição específica.

O modelo M/M/1 pressupõe tempos de atendimento exponenciais e espaço de fila ilimitado, condições que sistemas reais raramente atendem exatamente. Trate suas previsões como um guia conservador: quando os tempos de atendimento são mais regulares do que exponenciais, as esperas reais costumam ser menores.