Última atualização: 2026-07-01

Fila M/M/c

A fila M/M/c estende o modelo de servidor único para vários servidores idênticos que compartilham uma linha de espera. É o cavalo de batalha do planejamento de pessoal e de capacidade: a partir da taxa de chegada, da taxa de serviço por servidor e do número de servidores, ela prevê com que frequência as requisições precisam esperar, quanto tempo esperam e quanto a fila cresce. A calculadora retorna tudo isso junto com a utilização por servidor.

O que o nome significa

A notação segue a classificação de Kendall. O primeiro M indica que as chegadas são markovianas — seguem um processo de Poisson, de modo que cada chegada é independente. O segundo M indica que os tempos de atendimento têm distribuição exponencial. O c é o número de servidores. Assim, M/M/c significa “chegadas aleatórias, atendimento aleatório, c servidores, uma fila compartilhada ilimitada, atendimento por ordem”. Com $c = 1$, reduz-se à fila M/M/1 comum.

Utilização e carga oferecida

Duas grandezas governam tudo. A carga oferecida (em erlangs) é o trabalho que chega por unidade de capacidade de atendimento:

$a = \dfrac{\lambda}{\mu}$

e a utilização é essa carga distribuída entre os servidores:

$\rho = \dfrac{a}{c} = \dfrac{\lambda}{c\,\mu}$

onde $\lambda$ é a taxa de chegada, $\mu$ a taxa de serviço por servidor e $c$ o número de servidores. O sistema é estável apenas quando $\rho < 1$; caso contrário, as requisições chegam mais rápido do que os servidores conseguem despachar e o acúmulo cresce sem limite.

A fórmula de Erlang C

A saída principal é a probabilidade de que uma requisição que chega encontre todos os servidores ocupados e precise esperar. É a fórmula de Erlang C:

$P_{\text{wait}} = \dfrac{\dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}{\displaystyle\sum_{n=0}^{c-1}\dfrac{a^{n}}{n!} + \dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}$

Conhecida a probabilidade de espera, seguem as médias em regime estacionário:

$L_q = \dfrac{P_{\text{wait}}\,\rho}{1 - \rho}, \qquad W_q = \dfrac{L_q}{\lambda}$

$L = L_q + a, \qquad W = W_q + \dfrac{1}{\mu}$

Aqui $L_q$ é o número médio em espera, $W_q$ a espera média antes do atendimento, $L$ o número médio no sistema e $W$ o tempo médio de resposta.

Exemplo resolvido

Uma central de serviços recebe 5 chamados por minuto ($\lambda = 5$) e cada um de seus 3 atendentes resolve 2 por minuto ($\mu = 2$, $c = 3$). A carga oferecida é $a = 5/2 = 2{,}5$ erlangs e a utilização $\rho = 2{,}5/3 \approx 0{,}833$. A fórmula de Erlang C dá:

Assim, cerca de 70 % dos chamados que chegam esperam, a fila contém em média cerca de 3,5 chamados e a espera típica é de aproximadamente 0,7 minuto até um atendente ficar livre. Acrescentar um quarto atendente com a mesma carga reduz bastante a probabilidade de espera e a fila — exatamente o tipo de compensação que este modelo foi feito para revelar.

Agrupar vence dividir

Um resultado central da teoria de filas multisservidor é que uma única linha compartilhada diante de $c$ servidores supera $c$ filas separadas de servidor único com a mesma capacidade total. Agrupar suaviza os momentos em que um servidor está ocioso enquanto outro está sobrecarregado, de modo que a espera média cai. Por isso uma única fila de chamados alimentando muitos atendentes vence a atribuição de uma caixa de entrada própria a cada atendente. A mesma ideia de média está por trás de Calculadora da Lei de Little, que liga concorrência, vazão e latência sem supor nenhuma distribuição específica, e o caso de servidor único é tratado por Calculadora de Fila M/M/1.

O modelo M/M/c pressupõe tempos de atendimento exponenciais e espaço de fila ilimitado, algo que sistemas reais raramente cumprem com exatidão. Trate suas previsões como um guia de planejamento: quando os tempos de atendimento são mais regulares que os exponenciais, as esperas reais costumam ser menores do que o modelo sugere.