最後更新：2026-06-15

轉動慣量

轉動慣量之於旋轉運動，就如質量之於直線運動：它告訴我們物體抵抗角速度變化的程度。但與質量不同，轉動慣量取決於物質相對於轉軸的位置——距轉軸越遠的質量，影響遠遠大於靠近轉軸的質量。本計算機可由質量和尺寸求出各標準形狀的轉動慣量。

一般形式

對於質量為 $m$、特徵尺寸為 $r$ 的物體，所有標準形狀的轉動慣量均可寫成

$$I = c\,m\,r^2,$$

其中 $c$ 是由形狀和轉軸決定的無因次係數。半徑以平方出現，因此在邊緣集中質量的圓環，遠比質量相同的實心圓盤更難加速旋轉：質量外移會急劇提升 $I$。

常見形狀的係數

形狀（除特別說明外，轉軸均通過中心）	係數 $c$	公式
實心圓柱或圓盤	$\tfrac{1}{2}$	$I = \tfrac{1}{2}mr^2$
細圓環	$c_\text{hoop} = 1$	$I = mr^2$
實心球體	$\tfrac{2}{5}$	$I = \tfrac{2}{5}mr^2$
薄球殼	$\tfrac{2}{3}$	$I = \tfrac{2}{3}mr^2$
細桿（軸通過中點）	$\tfrac{1}{12}$	$I = \tfrac{1}{12}mL^2$
細桿（軸通過一端）	$\tfrac{1}{3}$	$I = \tfrac{1}{3}mL^2$

細桿使用全長 $L$；其他形狀均使用半徑 $r$。

計算範例

質量 $m = 2\ \text{kg}$、半徑 $r = 0.5\ \text{m}$ 的實心圓盤，繞中心軸旋轉：

$$\begin{aligned} I &= \tfrac{1}{2}\,m\,r^2 \\ &= \tfrac{1}{2} \times 2 \times 0.5^2 \\ &= 0.25\ \text{kg·m}^2. \end{aligned}$$

若換成質量和半徑相同的圓環，係數升至 $c_\text{hoop} = 1$，轉動慣量倍增為 $0.5\ \text{kg·m}^2$——因為圓環的全部質量都集中在邊緣。

平移轉軸

上述係數對應特定的轉軸位置。若要將轉軸平行移動，可使用平行軸定理：

$$I = I_\text{cm} + m\,d^2,$$

其中 $I_\text{cm}$ 是通過質心的平行軸轉動慣量，$d$ 是兩軸之間的距離。「細桿端軸」選項正是此定理在 $d = \tfrac{L}{2}$ 時的應用，將係數從 $\tfrac{1}{12}$ 提升至 $\tfrac{1}{3}$。

為什麼這很重要

一旦求得 $I$，其他旋轉力學量即可逐一導出：轉動動能為 $\tfrac{1}{2}I\omega^2$，角動量為 $I\omega$，產生特定角加速度所需的力矩為 $\tau = I\alpha$。正確計算轉動慣量，是所有這些分析的第一步。

常見問題（FAQ）

什麼是轉動慣量？

轉動慣量是質量在旋轉運動中的對應量，衡量物體抵抗角速度變化的程度。距離轉軸越遠的質量，其貢獻因半徑的平方而成倍放大。同一物體對不同轉軸的轉動慣量各不相同，因此在陳述時必須指明轉軸位置。

½、⅖ 等係數從何而來？

每個係數都是對該形狀的質量分布積分 r² 所得。細圓環的全部質量集中在邊緣，故 c = 1。實心圓盤的質量由邊緣向中心分布，得 c = ½。實心球得 ⅖，薄球殼得 ⅔。細桿以中點為軸得 1/12，以端點為軸時質量平均距離較遠，係數升至 ⅓。

我應該輸入半徑還是長度？

對於圓盤、圓環、球體和球殼，請輸入半徑——即從轉軸到邊緣的距離。對於細桿，請輸入其全長 L；公式已根據所選轉軸（中點或端點）自動計算質量分布。

若轉軸不通過質心，該如何計算？

使用平行軸定理：I = I_cm + m·d²，其中 I_cm 為通過質心的平行軸轉動慣量，d 為兩軸之間的距離。本計算機中「細桿端軸」選項正是將此定理應用於細桿，將轉軸從中點平移 L/2 後所得的結果。