最後更新：2026-06-16

相對論速度合成

相對論速度合成是當兩個速率中至少有一個達到光速 $c \approx 3 \times 10^8\ \text{m/s}$ 可觀比例時，用以合成它們的規則。日常直覺——從行進中的火車上向前拋出的球，其速度只要加上火車的速度即可——在接近光速時便會失效，因為光速對每一位觀察者都必須相同。狹義相對論提供了一個公式，使每一個合成速率皆維持在 $c$ 以下。

本計算器接受沿同一直線的兩個速度 $u$ 與 $v$，並回傳合成速度 $w$ 及其以光速比例表示的數值 $\beta = w/c$。

原理

假設某參考系相對於基準觀察者以速率 $u$ 運動，而某物體相對於該參考系以速率 $v$ 運動，兩者沿同一方向。物體相對於基準觀察者的速率並非 $u + v$，而是

$$w = \frac{u + v}{1 + \dfrac{uv}{c^2}}.$$

這個額外的分母正是阻止結果超過 $c$ 的關鍵。當 $u$ 與 $v$ 相對於 $c$ 都很小時，$uv/c^2$ 項可忽略，公式便化簡為熟悉的 $w \approx u + v$。

公式

物理量	符號	定義
第一個速度	$u$	參考系相對於觀察者的速率
第二個速度	$v$	物體相對於參考系的速率
合成速度	$w$	$w = \dfrac{u + v}{1 + uv/c^2}$
$c$ 的比例	$\beta$	$\beta = w / c$
光速	$c$	$299\,792\,458\ \text{m/s}$（精確值）

若 $v = c$，公式對任何 $u$ 皆給出 $w = c$——光速是不變的。

計算範例

兩個物體各以 u = v = 0.75c 沿同一直線運動。

步驟 1 — 分子：

$$u + v = 0.75c + 0.75c = 1.5c$$

步驟 2 — 分母：

$$1 + \frac{uv}{c^2} = 1 + \frac{(0.75c)(0.75c)}{c^2} = 1 + 0.5625 = 1.5625$$

步驟 3 — 合成速度：

$$w = \frac{1.5c}{1.5625} = 0.96c$$

即使單純相加會得到 1.5c，相對論結果卻只有 0.96c——仍在光速以下。在計算器中輸入這些數值即可重現此結果。

合成相等的速率

各自速率	樸素相加	相對論 $w$
0.1c	0.2c	0.198c
0.3c	0.6c	0.550c
0.5c	1.0c	0.800c
0.75c	1.5c	0.960c
0.9c	1.8c	0.994c
0.99c	1.98c	0.99995c

真實世界的關聯

速度合成規則每天都在粒子物理中得到驗證，從高速運動源所發出的粒子，無論速度如何合成，都絕不會超過 $c$。它也是相對論都卜勒效應與星光光行差的基礎，並解釋了關於光在運動水中速度的經典斐索實驗——這個結果曾困擾物理學家數十年，直到相對論才給出乾淨俐落的解釋。

限制：狹義相對論中的共線運動

本計算器處理慣性參考系中沿單一直線的速率。當兩個速度不平行時，合成會更為複雜，結果取決於方向，並包含一種稱為托馬斯進動的相對論性轉動效應。對於沿單一直線的運動，此處的公式是精確的。

常見問題（FAQ）

為什麼不能直接把兩個速度相加？

在日常生活中，速度直接相加之所以可行，是因為速率與光速相比微不足道。但光速對每一位觀察者皆相同，因此單純相加會使合成速率超過 c，這是不可能的。狹義相對論以 w = (u + v) / (1 + uv/c²) 取代普通的加法。分母隨速率增大而增長，使結果維持在 c 以下。熟悉的 w = u + v 只是此精確公式在低速下的極限。

相對論速度合成公式是什麼？

對於沿單一直線的運動，合成速度為 w = (u + v) / (1 + uv/c²)，其中 u 與 v 為兩個速率、c 為光速。當 uv 與 c² 相比很小時，分母接近 1，公式化簡為一般的 w ≈ u + v。當任一速率趨近 c 時，分母會恰好增大到足以使 w 維持在 c 以下。

若其中一個速率就是光速會發生什麼事？

若 v = c，公式給出 w = (u + c) / (1 + uc/c²) = (u + c) / (1 + u/c) = c，對任何 u 皆成立。換言之，在某一參考系中以速率 c 量測到的光，在每一個其他參考系中也都被量測為 c——這正是狹義相對論所立基的基本假設。本計算器將輸入限制在 c 以下的速率，因為有質量的物體無法達到光速，但公式本身在此極限下重現了 c 的不變性。

為什麼汽車與飛機仍可用一般速度合成？

因為在日常速度下，修正項 uv/c² 小到天文數字般微不足道。兩輛各以時速 100 公里相向而行的汽車，其 uv/c² 大約為 10⁻¹⁴，因此相對論結果與單純相加得到的 200 km/h 之差，遠小於任何儀器所能偵測的程度。唯有當速率達到光速的可觀比例時，相對論公式才會明顯偏離單純的加法。