最後更新：2026-06-15

史蒂芬—波茲曼定律

任何溫度高於絕對零度的物體都會發光——以電磁波的形式輻射能量。史蒂芬—波茲曼定律告訴你輻射量有多大。它將表面輻射的功率與一個主導變數——絕對溫度——連結起來，且這種連結相當陡峭：功率隨溫度的四次方攀升。本計算機將溫度、發射率和表面積轉換為輻射功率與每平方公尺的輻射通量。

公式的由來

完美輻射體——黑體——輻射的頻譜完全由其溫度決定。將普朗克頻譜對所有波長積分，總通量正比於 $T^4$。將比例常數記為 $\sigma$，通量即為 $I = \sigma T^4$。真實表面的輻射低於這個理想值，因此乘以發射率 $\varepsilon$——一個零到一之間的數值——得到 $I = \varepsilon\sigma T^4$。再乘以面積即得總功率。

公式

物理量	符號	意義
輻射通量	$I$	$I = \varepsilon\sigma T^4$
輻射功率	$P$	$P = \varepsilon\sigma A T^4$
發射率	$\varepsilon$	表面效率，0 到 1
表面積	$A$	輻射表面的面積
溫度	$T$	絕對溫度（克耳文）

史蒂芬—波茲曼常數為 $\sigma = 5.670374419\times10^{-8}\ \text{W·m}^{-2}\text{·K}^{-4}$。溫度必須使用絕對溫標，因為 $T^4$ 項在以任意點為零的溫標下毫無意義。

計算範例

黑體表面（$\varepsilon = 1$），面積 $A = 1\ \text{m}^2$，溫度 $T = 1000\ \text{K}$：

$$\begin{aligned} I &= \varepsilon\sigma T^4 = 1 \times 5.670374419\times10^{-8} \times 1000^4 \\ &= 56703.74\ \text{W/m}^2 \\ P &= I \times A = 56703.74 \times 1 = 56703.74\ \text{W} \end{aligned}$$

每平方公尺的表面輸出約 57 kW 的輻射功率。

為什麼四次方如此重要

$T^4$ 的依賴關係使輻射對溫度極為敏感。絕對溫度翻倍，功率不是翻倍，而是增加為 $2^4 = 16$ 倍。300 K 與 600 K 的加熱元件輻射功率相差十六倍，這解釋了為何物體只有在足夠熱時才開始發出可見光，也說明了微小的溫度誤差為何會帶來巨大的功率誤差。

限制

此定律給出的是表面發射的功率。與環境的淨輻射交換還需減去表面從環境吸收的部分，即溫度為 $T_\text{surr}$ 的環境所貢獻的 $\varepsilon\sigma A T_\text{surr}^4$。這裡使用的單一發射率也是一種簡化：真實發射率隨波長、角度和表面狀態而變化。此外，輻射只是三種熱傳方式之一——在日常溫度下，傳導和對流往往更為主導。

常見問題（FAQ）

什麼是史蒂芬—波茲曼定律？

史蒂芬—波茲曼定律指出，表面每單位面積的輻射功率與其絕對溫度的四次方成正比：I = εσT⁴。乘以表面積即得總輻射功率 P = εσAT⁴。其中 σ = 5.670374419×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴ 為史蒂芬—波茲曼常數，ε 為發射率。

發射率應該用什麼值？

發射率 ε 介於 0 到 1 之間，衡量表面與理想黑體的接近程度。霧面黑色或高度氧化的表面約為 0.95；人體皮膚與大多數塗料約為 0.9；拋光金屬可低至 0.05 以下。若要計算黑體極限——即該溫度下任何表面能輻射的最大功率——可使用 1。

為什麼溫度要取四次方？

T⁴ 的關係源自對普朗克輻射頻譜積分全波長所得的結果。其實際意義相當顯著：絕對溫度翻倍，輻射功率增加為 2⁴ = 16 倍。這就是為何溫度略微升高便能使物體發出更強烈的光，也說明輻射功率對溫度測量精度極為敏感。

黑體與真實表面有何不同？

黑體是理想化的完美吸收與輻射體，ε = 1，能輻射出給定溫度下物體所能達到的最大功率。真實表面的輻射較少，其功率以發射率縮放。在本計算機中，設 ε = 1 可得黑體上限；設較低的 ε 則模擬特定真實材料。