آخر تحديث: 2026-07-01

التوظيف بنموذج إرلانغ C

إرلانغ C هو الصيغة الكامنة وراء معظم أدوات تحديد حجم فرق مراكز الاتصال. يأخذ حجم المكالمات ومتوسط زمن المعالجة وعدد الموظفين في الوردية، ويتنبأ بسلوك قائمة الانتظار: احتمال أن ينتظر المتصل، ومتوسط مدة الانتظار، ونسبة المكالمات التي يُردّ عليها خلال زمن مستهدف. تعرض هذه الحاسبة تلك النتائج من منظور إدارة الموظفين — مستوى الخدمة، ومتوسط سرعة الرد، والحمل المعروض، ونسبة الإشغال.

الحمل المعروض ونسبة الإشغال

يبدأ كل شيء من الحمل المعروض، مقيسًا بوحدة الإرلانغ. وهو معدل الوصول مضروبًا في المدة التي تشغل فيها كل مكالمة موظفًا:

$A = \lambda \, H = \dfrac{N}{T_i}\,H$

حيث $N$ عدد المكالمات في فترة طولها $T_i$، فيكون $\lambda = N / T_i$ هو معدل الوصول، و$H$ هو متوسط زمن المعالجة. الإرلانغ الواحد يعادل ساعة عمل مكالمة متصلة في الساعة. وتوزيع هذا الحمل على $c$ موظفًا يعطي نسبة الإشغال:

$\rho = \dfrac{A}{c}$

أي نسبة الوقت المدفوع الذي يقضيه الموظفون فعليًا في المكالمات. ولا يكون الفريق مستقرًا إلا عندما $A < c$. والتوظيف بقدر الحمل تمامًا ($c = A$) لا ينجح أبدًا: فالمكالمات تَرِد في دفعات عشوائية، لذا يلزم دائمًا هامش من الموظفين فوق الحمل الخام.

احتمال الانتظار

الكمية المحورية هي احتمال إرلانغ C بأن تجد المكالمة الواردة جميع الموظفين مشغولين فتنضم إلى القائمة:

$P_{\text{wait}} = \dfrac{\dfrac{A^{c}}{c!\,(1-\rho)}}{\displaystyle\sum_{n=0}^{c-1}\dfrac{A^{n}}{n!} + \dfrac{A^{c}}{c!\,(1-\rho)}}$

ومتى عُرف احتمال الانتظار، تَتبعه القيمتان الرئيسيتان للتوظيف. فمتوسط سرعة الرد (ASA) — أي متوسط الانتظار على جميع المكالمات — هو

$\text{ASA} = \dfrac{P_{\text{wait}}\,H}{c - A}$

ومستوى الخدمة، أي نسبة المكالمات التي يُردّ عليها خلال زمن مستهدف $T_t$، هو

$\text{SL} = 1 - P_{\text{wait}}\,e^{-(c - A)\,T_t / H}$

ويمثل الحد الأُسّي سرعة تفريغ القائمة بعد انشغال جميع الموظفين؛ فكلما كبر فائض الموظفين $c - A$ صُرف المنتظرون أسرع وارتفع مستوى الخدمة.

مثال محلول

يستقبل خط دعم 100 مكالمة في فترة نصف ساعة ($N = 100$، $T_i = 1800$ ثانية)، وتستغرق كل مكالمة نحو ثلاث دقائق ($H = 180$ ثانية)، ويوجد 14 موظفًا في الوردية. والهدف هو الرد خلال 20 ثانية ($T_t = 20$ ثانية).

أولًا الحمل المعروض ونسبة الإشغال:

وبإدخال $A = 10$ و$c = 14$ في إرلانغ C نحصل على $P_{\text{wait}} \approx 0.174$، أي إن نحو 17٪ من المتصلين ينتظرون. وتَتبع مؤشرات التوظيف:

وهكذا، بوجود 14 موظفًا يردّ الخط على نحو 89٪ من المكالمات خلال 20 ثانية، ويقل الانتظار المعتاد عن ثماني ثوانٍ، وينشغل الموظفون نحو 71٪ من الوقت. ولو انخفض العدد إلى 13 موظفًا لارتفعت نسبة الإشغال وانخفض مستوى الخدمة؛ والحاسبة تيسّر قراءة هذه المفاضلة.

اختيار مستوى التوظيف

العمل المعتاد هو تثبيت هدف لمستوى الخدمة — ومن الشائع 80/20، أي الرد على 80٪ من المكالمات خلال 20 ثانية — ثم زيادة عدد الموظفين حتى يحققه النموذج. وبالقرب من العتبة، قد يحرّك موظف واحد مستوى الخدمة عدة نقاط، لأن الفائض $c - A$ في الأُس يكبر. وتعمل نسبة الإشغال بالعكس: فقلة الموظفين تعني إشغالًا أعلى لكن تجربة أسوأ للمتصل وإجهادًا أكبر، لذا تُبقي معظم المراكز الإشغال دون 100٪ بكثير.

يفترض إرلانغ C أن المتصل لا يغادر القائمة أبدًا (لا يغلق الخط)، وهو ما يبالغ في تقدير الحمل عند طول الانتظار؛ ويضيف نموذج إرلانغ A ذو الصلة التخلي. كما يفترض مهارة واحدة، ومعدل وصول ثابتًا خلال الفترة، وأزمنة معالجة أُسّية. تعامل مع الأرقام كدليل تخطيطي: اختر فترة قصيرة ليبقى معدل الوصول ثابتًا تقريبًا، وقارن النتيجة بالبيانات التاريخية قبل اعتماد جدول العمل. وقائمة الانتظار الكامنة هي النموذج متعدد الخوادم نفسه الذي يتناوله حاسبة طابور M/M/c، والعلاقة بين الإنتاجية والتزامن التي يستند إليها هي حاسبة قانون ليتل.