آخر تحديث: 2026-06-28

المتمم الثنائي

المتمم الثنائي هو الأسلوب القياسي الذي تعتمده الحواسب الرقمية لتخزين الأعداد الصحيحة الموقَّعة ومعالجتها. تستخدمه جميع بنى المعالجات الشائعة — x86 وARM وRISC-V وغيرها — لأنه يتيح إجراء الطرح بالدائرة الإلكترونية ذاتها المستخدمة للجمع، ويُنتج تمثيلاً واحداً للصفر.

مبدأ الترميز

يحتوي سجل N بتاً على $2^N$ نمطاً ثنائياً مختلفاً. نصفها يمثل الأعداد غير السالبة ($0$ إلى $2^{N-1} - 1$) والنصف الآخر الأعداد السالبة ($-2^{N-1}$ إلى $-1$). الخاصية المحورية أن البت الأقصى يساراً (الأكثر أهمية) يؤدي دور بت الإشارة: 0 للقيم غير السالبة، و1 للقيم السالبة.

بالنسبة للأعداد غير السالبة يتطابق الترميز مع الثنائي العادي غير الموقَّع. على سبيل المثال، العدد 42 في سجل 8 بتات:

$42_{10} = 0\!0\!1\!0\;1\!0\!1\!0_2 = \texttt{0x2A}$

حساب المتمم الثنائي لعدد سالب

لإيجاد ترميز المتمم الثنائي لعدد سالب $-n$ (حيث $n > 0$) في سجل N بتاً، يُضاف $2^N$ إلى القيمة:

$\text{ترميز } {-n} = 2^N - n \quad \text{(بـ } N \text{ بتاً)}$

لحساب $-42$ في 8 بتات: $2^8 - 42 = 256 - 42 = 214$. مكتوباً ثنائياً ومجمَّعاً في رباعيات:

ثمة إجراء عملي مكافئ للحصول على المتمم الثنائي: عكس جميع بتات الترميز الموجب ثم إضافة 1:

• $42_{10} = 0010\;1010_2$
• العكس: $1101\;0101_2$
• إضافة 1: $1101\;0110_2 = -42_{10}$ ✓

تعطي الطريقتان النتيجة ذاتها.

قراءة قيمة مرمَّزة بالمتمم الثنائي

لتحويل سلسلة ثنائية مرمَّزة بأسلوب المتمم الثنائي إلى عدد عشري موقَّع، يُفحص بت الإشارة:

• إذا كان البت الأول 0، فالقيمة غير سالبة وتُقرأ كثنائي عادي: $0111\;1111_2 = 127_{10}$.
• إذا كان البت الأول 1، فالقيمة سالبة. يُطرح $2^N$ من القيمة غير الموقَّعة: $1101\;0110_2 = 214_{10}$، إذن $214 - 256 = -42_{10}$.

النطاقات القابلة للتمثيل

يُقسّم بت الإشارة النطاق الكلي إلى نصفين. يمثّل سجل N بتاً الأعداد التالية:

يلاحظ الاختلاف في التماثل: ثمة دائماً قيمة سالبة إضافية مقارنةً بالقيم الموجبة. ينشأ هذا لأن الصفر يشغل إحدى خانات القيم غير السالبة، فيبقى $2^{N-1} - 1$ قيمة موجبة في مقابل $2^{N-1}$ قيمة سالبة.

الفيض العددي

حين تقع نتيجة العملية الحسابية خارج النطاق القابل للتمثيل، تلتفّ النتيجة — وهو ما يُعرف بالفيض العددي. في سجل 8 بتات، يؤدي جمع 1 مع 127 إلى: $0111\;1111 + 0000\;0001 = 1000\;0000$، وهو ترميز −128. تضع الأجهزة عادةً علامة فيض تُمكّن البرنامج من رصد هذه الحالة والتعامل معها، غير أن العملية الثنائية الأساسية ليست سوى جمع نمطي.

المتمم الثنائي مقارنةً بتمثيل الإشارة والقيمة المطلقة

يخصّص تمثيل الإشارة والقيمة المطلقة بتاً واحداً للإشارة وبقية البتات للقيمة المطلقة. لهذا التمثيل عيبان: أولاً، يوجد تمثيلان للصفر — الصفر الموجب ($0000\;0000$) والصفر السالب ($1000\;0000$) — مما يفرض معالجةً خاصة عند المقارنة. ثانياً، يستلزم جمع أعداد مختلفة الإشارة دوائر منفصلة تحدد أيّ المعاملين أكبر. يحلّ المتمم الثنائي هذين الإشكالين: دائرة جامعة واحدة تتولى جميع الحالات، وللصفر تمثيل واحد فقط هو $0000\dots0$.