آخر تحديث: 2026-07-01

طابور M/M/c

يوسّع طابور M/M/c نموذجَ الخادم الواحد إلى عدة خوادم متطابقة تتشارك صف انتظار واحدًا. وهو أداة العمل الأساسية في تخطيط الموارد البشرية والطاقة الاستيعابية: فانطلاقًا من معدل الوصول ومعدل الخدمة لكل خادم وعدد الخوادم، يتنبأ بمدى تكرار اضطرار الطلبات إلى الانتظار، وكم تنتظر، وإلى أي حدّ ينمو الطابور. وتُرجع الحاسبة كل ذلك إلى جانب نسبة الإشغال لكل خادم.

ماذا يعني الاسم

يتبع الترميز تصنيف كندال. يدل الحرف M الأول على أن الوصول ماركوفي — أي يتبع عملية بواسون، فيكون كل وصول مستقلًّا. ويدل الحرف M الثاني على أن أزمنة الخدمة موزَّعة أُسيًّا. أما c فهو عدد الخوادم. وعليه فإن M/M/c يعني «وصول عشوائي، خدمة عشوائية، c خادمًا، طابورٌ واحد مشترك غير محدود السعة، معالجةٌ بالترتيب». وعندما يكون $c = 1$ يؤول إلى طابور M/M/1 المعتاد.

نسبة الإشغال والحِمل المعروض

يحكم كلَّ شيء مقداران. الحِمل المعروض (بوحدة الإرلانج) هو العمل الواصل لكل وحدة من طاقة الخدمة:

$a = \dfrac{\lambda}{\mu}$

ونسبة الإشغال هي ذلك الحِمل موزَّعًا على الخوادم:

$\rho = \dfrac{a}{c} = \dfrac{\lambda}{c\,\mu}$

حيث $\lambda$ معدل الوصول، و$\mu$ معدل الخدمة لكل خادم، و$c$ عدد الخوادم. ويكون النظام مستقرًّا فقط عندما يكون $\rho < 1$؛ وإلا فإن الطلبات تصل أسرع مما تستطيع الخوادم تصريفه فينمو التراكم بلا حدود.

صيغة إرلانج C

المُخرَج الرئيسي هو احتمال أن يجد الطلب الواصل جميع الخوادم مشغولة فيضطر إلى الانتظار. وهذه هي صيغة إرلانج C:

$P_{\text{wait}} = \dfrac{\dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}{\displaystyle\sum_{n=0}^{c-1}\dfrac{a^{n}}{n!} + \dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}$

وبمعرفة احتمال الانتظار، تتبع المتوسطات في الحالة المستقرة:

$L_q = \dfrac{P_{\text{wait}}\,\rho}{1 - \rho}, \qquad W_q = \dfrac{L_q}{\lambda}$

$L = L_q + a, \qquad W = W_q + \dfrac{1}{\mu}$

هنا $L_q$ هو متوسط عدد المنتظرين، و$W_q$ متوسط الانتظار قبل الخدمة، و$L$ متوسط العدد في النظام، و$W$ متوسط زمن الاستجابة.

مثال محلول

يستقبل مكتب خدمة 5 تذاكر في الدقيقة ($\lambda = 5$)، ويحلّ كلٌّ من موظفيه الثلاثة تذكرتين في الدقيقة ($\mu = 2$، $c = 3$). الحِمل المعروض هو $a = 5/2 = 2.5$ إرلانج، ونسبة الإشغال $\rho = 2.5/3 \approx 0.833$. تعطي صيغة إرلانج C:

أي أن نحو 70٪ من التذاكر الواصلة تنتظر، ويحتوي الطابور وسطيًّا على نحو 3.5 تذكرة، ويبلغ الانتظار المعتاد نحو 0.7 دقيقة حتى يتفرّغ موظف. وإضافة موظف رابع عند الحِمل نفسه تخفض احتمال الانتظار وطول الطابور بشكل ملحوظ، وهو بالضبط نوع المفاضلة الذي صُمِّم هذا النموذج لإظهاره.

التجميع أفضل من التقسيم

من النتائج المحورية في نظرية الطوابير متعددة الخوادم أن صفًّا واحدًا مشتركًا أمام $c$ خادمًا يتفوّق على $c$ طابورًا منفصلًا بخادم واحد لكل منها وبالطاقة الإجمالية نفسها. فالتجميع يخفّف اللحظات التي يكون فيها أحد الخوادم عاطلًا بينما آخر مثقَل، فتنخفض مدة الانتظار الوسطية. ولهذا يتفوّق طابور تذاكر واحد يغذّي عدة موظفين على تخصيص صندوق وارد مستقل لكل موظف. وتقوم الفكرة نفسها للمتوسطات خلف حاسبة قانون ليتل، الذي يربط التزامن والإنتاجية والكمون دون افتراض أي توزيع بعينه، أما حالة الخادم الواحد فيتناولها حاسبة طابور M/M/1.

يفترض نموذج M/M/c أزمنة خدمة أُسية ومساحة طابور غير محدودة، وهو ما نادرًا ما تحقّقه الأنظمة الواقعية بدقة. فعامِل تنبؤاته بوصفها دليلًا للتخطيط: فعندما تكون أزمنة الخدمة أكثر انتظامًا من التوزيع الأُسّي، يكون الانتظار الفعلي عادةً أقصر مما يوحي به النموذج.