آخر تحديث: 2026-06-29

طابور M/M/1

طابور M/M/1 هو النموذج التأسيسي في نظرية الطوابير: خادم واحد يعالج طلبات تصل عشوائيًا بأزمنة خدمة عشوائية. وانطلاقًا من رقمين فحسب — سرعة وصول الطلبات وسرعة معالجة الخادم لها — يتنبأ النموذج بمتوسط الانتظار ومتوسط زمن الاستجابة ومدى نمو الطابور. وتعيد الحاسبة هذه القيم جميعها إضافةً إلى معدل استخدام الخادم.

معنى التسمية

يتبع الترميز تصنيف كندال. يدل الحرف M الأول على أن الوصول ماركوفي — أي يتبع عملية بواسون، بمعنى أن كل وصول مستقل وأن العدد في أي فترة عشوائي. ويدل الحرف M الثاني على أن أزمنة الخدمة موزعة توزيعًا أُسيًّا. أما الرقم 1 فهو عدد الخوادم. فيكون M/M/1 إذًا «وصول عشوائي، وخدمة عشوائية، وخادم واحد، وطابور غير محدود، وخدمة بحسب الترتيب».

معدل الاستخدام يحكم كل شيء

أهم كمية مفردة هي معدل الاستخدام، أي نسبة الوقت الذي يكون فيه الخادم مشغولًا:

$\rho = \dfrac{\lambda}{\mu}$

حيث $\lambda$ معدل الوصول و$\mu$ معدل الخدمة، وكلاهما بوحدة الزمن نفسها. والنظام مستقر فقط عندما يكون $\rho < 1$؛ فإن وصلت الطلبات بسرعة تساوي سرعة خدمتها على الأقل، نما التراكم دون حد. ومن $\rho$ تنبثق متوسطات الحالة المستقرة:

$L = \dfrac{\rho}{1 - \rho}, \qquad L_q = \dfrac{\rho^2}{1 - \rho}$

$W = \dfrac{1}{\mu - \lambda}, \qquad W_q = \dfrac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}$

هنا $L$ هو متوسط العدد في النظام، و$L_q$ متوسط العدد المنتظر، و$W$ متوسط زمن الاستجابة، و$W_q$ متوسط الانتظار قبل الخدمة.

مثال محلول

خادم يعالج 10 طلبات في الثانية ($\mu = 10$) ويستقبل 8 طلبات في الثانية ($\lambda = 8$). معدل الاستخدام هو $\rho = 0.8$، ومنه:

فيقضي الطلب نصف ثانية في النظام وسطيًّا، ويوجد أربعة طلبات في أي لحظة. ورغم أن الخادم منشغل بنسبة 80% فقط، فإن زمن الاستجابة يساوي خمسة أضعاف زمن الخدمة الخام البالغ 0.1 ثانية — وأغلبه انتظار.

خطورة معدل الاستخدام المرتفع

لأن المقدار $(1 - \rho)$ يقع في مقام كل صيغة، ترتفع المقاييس بحدّة مع اقتراب الخادم من التشبع. فعند معدل استخدام قدره 90% يكون متوسط العدد في النظام 9؛ وعند 95% يصبح 19؛ وعند 99% يصبح 99. وهذا الانفجار غير الخطي هو السبب في أن مخططي السعة يتركون هامشًا بدلًا من تشغيل الموارد قرب 100%. وتقوم فكرة المتوسطة نفسها خلف حاسبة قانون ليتل، الذي يربط بين التزامن والإنتاجية والكمون دون افتراض أي توزيع بعينه.

يفترض نموذج M/M/1 أزمنة خدمة أُسية وحيزًا غير محدود للطابور، وهو ما نادرًا ما تطابقه الأنظمة الحقيقية بدقة. وتُعامَل تنبؤاته بوصفها دليلًا متحفظًا: فعندما تكون أزمنة الخدمة أكثر انتظامًا من الأُسي، يكون الانتظار الفعلي أقصر عادةً.