最後更新：2026-06-29

M/M/1 佇列

M/M/1 佇列是排隊理論的基礎模型：單一伺服器處理隨機到達的請求，而服務時間也是隨機的。只需兩個數字——請求到達的速度與伺服器的處理速度——它便能預測平均等待時間、平均回應時間，以及佇列的增長程度。本計算機會一併給出這些數值與伺服器的使用率。

名稱的含義

此記法源自 Kendall 分類法。第一個 M 表示到達為「馬可夫性」（Markovian）——亦即遵循卜瓦松過程，意味著每次到達彼此獨立，且任一區間內的計數為隨機。第二個 M 表示服務時間服從指數分布。1 為伺服器的數量。因此 M/M/1 即「隨機到達、隨機服務、單一伺服器、無限佇列、依序服務」。

使用率決定一切

最重要的單一量是使用率，也就是伺服器處於忙碌狀態的時間比例：

$\rho = \dfrac{\lambda}{\mu}$

其中 $\lambda$ 為到達率，$\mu$ 為服務率，兩者使用相同的時間單位。系統僅在 $\rho < 1$ 時穩定；若請求到達的速度至少等同於服務速度，積壓便會無限制地增長。由 $\rho$ 可導出穩態下的各項平均值：

$L = \dfrac{\rho}{1 - \rho}, \qquad L_q = \dfrac{\rho^2}{1 - \rho}$

$W = \dfrac{1}{\mu - \lambda}, \qquad W_q = \dfrac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}$

此處 $L$ 為系統內的平均數量，$L_q$ 為等待中的平均數量，$W$ 為平均回應時間，$W_q$ 則為服務前的平均等待時間。

計算範例

一台伺服器每秒處理 10 個請求（$\mu = 10$），並每秒收到 8 個請求（$\lambda = 8$）。使用率為 $\rho = 0.8$，且：

因此一個請求平均停留在系統內半秒，而任一時刻平均有四個請求存在。即使伺服器僅有 80% 的時間忙碌，回應時間仍達原始服務時間 0.1 s 的五倍——其中大部分都是等待。

高使用率的危險

由於每條公式的分母都含有 $(1 - \rho)$，當伺服器接近飽和時，各項指標會急遽上升。在 90% 使用率下系統內的平均數量為 9；95% 時為 19；99% 時則為 99。這種非線性的暴增，正是容量規劃會保留餘裕、而非讓資源逼近 100% 運轉的原因。相同的平均化概念也是 利特爾法則計算器 的基礎，後者在不假設任何特定分布的情況下，連結了並行度、吞吐量與延遲。

M/M/1 模型假設服務時間服從指數分布且佇列空間無限，而真實系統鮮少完全符合。應將其預測視為保守的參考：當服務時間比指數分布更為規律時，實際等待時間通常更短。