最後更新：2026-07-01

M/M/c 佇列

M/M/c 佇列把單伺服器模型擴展為共用同一條等待線的多台相同伺服器。它是人力與容量規劃的主力工具：依到達率、每台伺服器的服務率與伺服器數量，預測請求多常需要等待、等待多久，以及佇列會增長到多長。計算機會連同每台伺服器的使用率一併輸出這些結果。

名稱的含義

此記法沿用肯德爾分類。第一個 M 表示到達為馬可夫的，亦即遵循卜瓦松過程，因此每次到達彼此獨立。第二個 M 表示服務時間服從指數分布。c 是伺服器數量。因此 M/M/c 意指「隨機到達、隨機服務、c 台伺服器、共用且容量無限的單一佇列、依序處理」。當 $c = 1$ 時，便化簡為一般的 M/M/1 佇列。

使用率與提供負載

有兩個量決定一切。提供負載（以爾朗為單位）是每單位服務能力所到達的工作量：

$a = \dfrac{\lambda}{\mu}$

而使用率則是把該負載分攤到各伺服器上：

$\rho = \dfrac{a}{c} = \dfrac{\lambda}{c\,\mu}$

其中 $\lambda$ 為到達率，$\mu$ 為每台伺服器的服務率，$c$ 為伺服器數量。系統唯有在 $\rho < 1$ 時才穩定；否則請求到達的速度快於伺服器清理的速度，積壓便會無限增長。

Erlang C 公式

關鍵輸出是到達的請求發現所有伺服器都在忙碌而必須等待的機率。這就是 Erlang C 公式：

$P_{\text{wait}} = \dfrac{\dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}{\displaystyle\sum_{n=0}^{c-1}\dfrac{a^{n}}{n!} + \dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}$

一旦得知等待機率，穩態平均值便隨之而來：

$L_q = \dfrac{P_{\text{wait}}\,\rho}{1 - \rho}, \qquad W_q = \dfrac{L_q}{\lambda}$

$L = L_q + a, \qquad W = W_q + \dfrac{1}{\mu}$

此處 $L_q$ 為平均等待數，$W_q$ 為服務前的平均等待時間，$L$ 為系統內平均數，$W$ 為平均回應時間。

計算範例

某服務台每分鐘收到 5 張工單（$\lambda = 5$），3 位專員每人每分鐘處理 2 張（$\mu = 2$、$c = 3$）。提供負載為 $a = 5/2 = 2.5$ 爾朗，使用率為 $\rho = 2.5/3 \approx 0.833$。由 Erlang C 公式可得：

也就是說，約 70% 到達的工單需要等待，佇列平均約有 3.5 張工單，而典型等待時間約為 0.7 分鐘直到有專員空出。在相同負載下增加第四位專員，會使等待機率與佇列大幅下降，這正是此模型所要凸顯的取捨。

集中勝於分割

多伺服器佇列理論的一項核心結果是：在 $c$ 台伺服器前設一條共用佇列，會勝過具有相同總容量的 $c$ 條各自獨立的單伺服器佇列。集中能緩和某台伺服器恰好閒置、另一台卻忙不過來的時刻，因而降低平均等待。這正是一條工單佇列供給眾多專員，會勝過為每位專員各設一個收件匣的原因。同樣的平均化想法也是 利特爾法則計算器 的基礎，它在不假設任何特定分布的情況下連結並行度、吞吐量與延遲；單伺服器的情形則由 M/M/1 佇列計算機 處理。

M/M/c 模型假設服務時間為指數分布且佇列容量無限，真實系統鮮少能完全符合。請將其預測視為規劃參考：當服務時間比指數分布更規律時，實際等待通常比模型所示更短。