حاسبة تمدد الزمن الجاذبي

الكتلة	1 M☉
نصف القطر	1 R☉
الزمن الذاتي	1 سنة

الكتلة

1 M☉

نصف القطر

1 R☉

الزمن الذاتي

1 سنة

آخر تحديث: 2026-06-16

تمدد الزمن الجاذبي

تمدد الزمن الجاذبي نتيجة من نتائج نظرية أينشتاين النسبية العامة: تدق الساعات أبطأ في المجالات الجاذبية الأقوى. تتأخر ساعة غائرة في بئر جاذبية عن ساعة مطابقة بعيدة. والأثر ضئيل على الأرض لكنه يصبح هائلًا قرب الأجسام الكثيفة جدًا كالنجوم النيوترونية والثقوب السوداء.

تأخذ هذه الحاسبة كتلة جسم $M$ ومسافة $r$ من مركزه وفترة زمن ذاتية $t_0$ مقيسة عند ذلك النصف، وتعيد عامل التمدد والزمن $t$ الذي يسجله مراقب بعيد بينما ينقضي $t_0$ قرب الكتلة.

كيف يعمل تمدد الزمن الجاذبي

في النسبية العامة، تُقوّس الكتلة الزمكان، ويُبطئ ذلك التقوس مرور الزمن. وكلما اقتربت ساعة من جسم ضخم، تأخر معدلها أكثر عن الساعات البعيدة عن أي جاذبية. ولأن ساعة المراقب البعيد تسير أسرع نسبيًا، فإنه يسجل فترة أطول من الساعة الغائرة في الجاذبية — فتبدو الساعة القريبة من الكتلة تسير ببطء.

ويحكم الأثرَ نسبةُ نصف قطر شفارتزشيلد $2GM/c^2$ إلى نصف القطر الفعلي $r$ . وعندما يكون $r$ أكبر بكثير من نصف قطر شفارتزشيلد يكون التصحيح مهملًا؛ ومع تقلص $r$ نحوه يتباعد التمدد.

الصيغة

الكمية	الرمز	التعريف
عامل التمدد	$\gamma_g$	$\gamma_g = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 2GM/rc^2}}$
الزمن الذاتي	$t_0$	الزمن المقيس على الساعة عند نصف القطر $r$
الزمن البعيد	$t$	$t = \dfrac{t_0}{\sqrt{1 - 2GM/rc^2}}$
ثابت الجاذبية	$G$	$6.674\,30 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}$
سرعة الضوء	$c$	$299\,792\,458\ \text{m/s}$ (بالضبط)

العامل دائمًا أكبر من واحد. وعندما $r \to \infty$ يقترب من واحد ويتلاشى التمدد؛ ومع اقتراب $r$ من نصف قطر شفارتزشيلد $2GM/c^2$ ينمو بلا حد.

مثال محلول

تأمل ساعة عند سطح الشمس: $M = 1.989 \times 10^{30}\ \text{kg}$ و $r = 6.9634 \times 10^8\ \text{m}$ .

الخطوة 1 — نسبة شفارتزشيلد:

\frac{2GM}{rc^2} = \frac{2(6.674 \times 10^{-11})(1.989 \times 10^{30})}{(6.9634 \times 10^8)(2.998 \times 10^8)^2} \approx 4.24 \times 10^{-6}

الخطوة 2 — عامل التمدد:

\gamma_g = \frac{1}{\sqrt{1 - 4.24 \times 10^{-6}}} \approx 1.0000021

تسير ساعة على سطح الشمس ببطء بنحو جزأين من المليون مقارنة بساعة بعيدة. وعلى مدى سنة واحدة، يسجل المراقب البعيد نحو 67 ثانية إضافية. أدخل هذه القيم في الحاسبة لإعادة إنتاج النتيجة.

التمدد عند شدات مجال مختلفة

الجسم	$2GM/rc^2$	عامل التمدد
سطح الأرض	$1.4 \times 10^{-9}$	1.0000000007
سطح الشمس	$4.2 \times 10^{-6}$	1.0000021
سطح قزم أبيض	$\sim 10^{-4}$	$\sim 1.00005$
سطح نجم نيوتروني	$\sim 0.3$	$\sim 1.2$

الأهمية في الواقع

تمدد الزمن الجاذبي ليس نظريًا فحسب. فأقمار GPS، الدائرة حيث تضعف الجاذبية، تكسب نحو 45 ميكروثانية في اليوم بالنسبة إلى ساعات الأرض؛ ويجب تصحيح هذا وإلا انحرفت المواقع بكيلومترات كل يوم. وقد قاست تجربة باوند–ريبكا الانزياح على برج ارتفاعه 22 مترًا، وتكشف الساعات الذرية اليوم الفرق عبر تغيرات في الارتفاع تبلغ جزءًا من المتر.

قيد: كتلة ساكنة غير دوارة

تستخدم هذه الحاسبة متريّة شفارتزشيلد التي تصف كتلة كروية غير دوارة وغير مشحونة. وتتطلب أن يقع نصف القطر خارج نصف قطر شفارتزشيلد $2GM/c^2$ . أما الدوران (متريّة كير) والشحنة وتمدد الزمن المبني على السرعة في النسبية الخاصة فهي آثار منفصلة غير مشمولة هنا.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو تمدد الزمن الجاذبي؟

تمدد الزمن الجاذبي تنبؤ من نظرية أينشتاين النسبية العامة: تسير الساعات أبطأ في المجالات الجاذبية الأقوى. تدق ساعة قريبة من جسم ضخم أبطأ من ساعة مطابقة بعيدة. ويُعطى الأثر بالعلاقة t = t₀ / √(1 − 2GM/rc²)، حيث M الكتلة وr المسافة من مركزها وG ثابت الجاذبية وc سرعة الضوء. وهو يختلف عن تمدد الزمن المبني على السرعة في النسبية الخاصة، الذي يعتمد على الحركة النسبية لا على الجاذبية.

ما هي صيغة تمدد الزمن الجاذبي؟

لكتلة كروية غير دوارة، يعطي حل شفارتزشيلد t = t₀ / √(1 − 2GM/rc²). والمقدار 2GM/c² هو نصف قطر شفارتزشيلد. وعندما يكون r أكبر بكثير من هذا النصف يكون الجذر التربيعي قريبًا من واحد ويكون التمدد ضئيلًا؛ ومع اقتراب r من نصف قطر شفارتزشيلد يقترب المقام من الصفر وينمو التمدد بلا حد. والعامل دائمًا أكبر من واحد، لذا يسجل المراقب البعيد دائمًا زمنًا منقضيًا أكثر من الساعة الغائرة في بئر الجاذبية.

لماذا تصحح أقمار GPS لتمدد الزمن؟

تدور أقمار GPS على ارتفاع نحو 20 000 km فوق الأرض، حيث تضعف الجاذبية، فتسير ساعاتها أسرع من ساعات الأرض بنحو 45 ميكروثانية في اليوم بسبب تمدد الزمن الجاذبي. ويبطئها التمدد النسبي الخاص الناشئ عن سرعتها المدارية بنحو 7 ميكروثانية في اليوم، فيتبقى صافي كسب نحو 38 ميكروثانية في اليوم. ودون تصحيح الأثرين معًا تتراكم أخطاء تحديد الموقع بعدة كيلومترات في اليوم، لذا تُزاح ساعات الأقمار عمدًا.

ماذا يحدث للزمن قرب ثقب أسود؟

مع اقتراب جسم من أفق حدث ثقب أسود — السطح عند نصف قطر شفارتزشيلد — يصبح تمدد الزمن الجاذبي متطرفًا. يرى مراقب بعيد الجسم الساقط يتباطأ وضوءه ينزاح نحو الأحمر، فيبدو متجمدًا عند الأفق ولا يكاد يعبره، بينما يعبره الجسم نفسه في زمن ذاتي منتهٍ. وعند الأفق تمامًا يتباعد عامل التمدد، ولهذا تتطلب هذه الحاسبة أن يقع نصف القطر خارج نصف قطر شفارتزشيلد.

حاسبة تمدد الزمن الجاذبي

المدخلات

حاسبة تمدد الزمن الجاذبي

تفاصيل

تضمين هذه الآلة الحاسبة

مشاركة هذه العملية الحسابية

التالي الموصى به

حاسبة تمدد الزمن

حاسبة نصف قطر شفارتزشيلد

حاسبة الانزياح الأحمر الجاذبي

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

حاسبة تمدد الزمن الجاذبي

المدخلات

المدخلات

النتائج

تفاصيل

تمدد الزمن الجاذبي

كيف يعمل تمدد الزمن الجاذبي

الصيغة

مثال محلول

التمدد عند شدات مجال مختلفة

الأهمية في الواقع

قيد: كتلة ساكنة غير دوارة

الأسئلة الشائعة (FAQ)

التالي الموصى به

حاسبة تمدد الزمن

حاسبة نصف قطر شفارتزشيلد

حاسبة الانزياح الأحمر الجاذبي

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟