تاريخ الإنشاء: 17 يونيو 2026 في 05:25 م

حاسبة الجسيم في صندوق

المدخلات

عدد الكم1
كتلة الجسيم9.1094e‎-31 كجم
طول الصندوق1 nm

أُنشئ باستخدام OneCalc · https://onecalc.app/ar/physics/particle-in-a-box

الفيزياء

حاسبة الجسيم في صندوق

احسب مستويات الطاقة المكمّاة لجسيم في بئر مربع لانهائي أحادي البعد. أدخل عدد الكم وكتلة الجسيم وطول الصندوق لإيجاد الطاقة Eₙ وطول دي برولي الموجي للموجة الواقفة.

المدخلات

≥ 1

النتائج

أدخل قيمة لعرض النتائج.

تفاصيل

تضمين هذه الآلة الحاسبة

معاينة

الصق هذا الرمز في صفحتك لعرض الآلة الحاسبة.

مشاركة هذه العملية الحسابية

سيرى كل من يفتح هذا الرابط القيم التي أدخلتها.

الجسيم في صندوق

الجسيم في صندوق، ويُسمى أيضًا البئر المربع اللانهائي، من أوائل المسائل القابلة للحل بدقة في ميكانيكا الكم. يُحبس جسيم وحيد في منطقة أحادية البعد طولها LL بجدران عالية بحيث لا يمكنه الإفلات أبدًا. ويكشف حل معادلة شرودنغر تحت هذا القيد أن طاقة الجسيم ليست حرة في أخذ أي قيمة — بل تقتصر على سلّم منفصل من المستويات.

تأخذ هذه الحاسبة عدد الكم nn وكتلة الجسيم mm وطول الصندوق LL، وتعيد طاقة ذلك المستوى EnE_n مع طول دي برولي الموجي λn\lambda_n للموجة الواقفة المقابلة.

كيف يعمل النموذج

لأن الجسيم لا يمكن أن يوجد خارج الصندوق، يجب أن تهبط دالته الموجية إلى الصفر عند الجدارين كليهما. وهذا الشرط الحدي مطابق لشرط وتر مثبت من طرفيه: فلا يبقى إلا الموجات الواقفة التي تنطبق فيها عدد صحيح من أنصاف الأطوال الموجية في الطول LL. وتحمل كل موجة واقفة مسموحة كمية حركة محددة، ومن ثم طاقة محددة. وكل طول موجي آخر محرّم، وهذا بالضبط سبب خروج الطاقة مكمّاة.

المستوى الأدنى، n = 1، هو الحالة الأرضية. ولها طاقة غير صفرية — فلا يمكن للجسيم أن يكون ساكنًا تمامًا — وهو أبسط توضيح لطاقة نقطة الصفر.

الصيغة

الكميةالرمزالتعريف
مستوى الطاقةEnE_nEn=n2h28mL2E_n = \dfrac{n^2 h^2}{8 m L^2}
عدد الكمnnn=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dots
طول دي برولي الموجيλn\lambda_nλn=2Ln\lambda_n = \dfrac{2L}{n}
ثابت بلانكhh6.626 070 15×10−34 J⋅s6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\ \text{J·s} (بالضبط)

لأن EnE_n يتدرج كـ n2n^2، تتباعد المستويات مع كبر nn: E2=4E1E_2 = 4E_1، E3=9E1E_3 = 9E_1، وهكذا. وتضييق الصندوق أو خفض الكتلة يدفع كل مستوى أعلى.

مثال محلول

إلكترون (m=9.109×10−31 kgm = 9.109 \times 10^{-31}\ \text{kg}) محصور في صندوق طوله L=1 nm=1×10−9 mL = 1\ \text{nm} = 1 \times 10^{-9}\ \text{m} في حالته الأرضية، n = 1.

الخطوة 1 — الطاقة:

E1=(1)2(6.626×10−34)28(9.109×10−31)(1×10−9)2≈6.025×10−20 J≈0.376 eVE_1 = \frac{(1)^2 (6.626 \times 10^{-34})^2}{8 (9.109 \times 10^{-31})(1 \times 10^{-9})^2} \approx 6.025 \times 10^{-20}\ \text{J} \approx 0.376\ \text{eV}

الخطوة 2 — الطول الموجي:

λ1=2Ln=2(1×10−9)1=2×10−9 m=2 nm\lambda_1 = \frac{2L}{n} = \frac{2 (1 \times 10^{-9})}{1} = 2 \times 10^{-9}\ \text{m} = 2\ \text{nm}

ينتشر نصف الطول الموجي الوحيد على كامل عرض الصندوق، بعقد عند كل جدار. وإدخال هذه القيم في الحاسبة يعيد إنتاج النتيجة.

مستويات الطاقة في لمحة

عدد الكم nnالطاقة نسبةً إلى الحالة الأرضيةأنصاف الأطوال الموجية في الصندوق
1E1E_11
24E14E_12
39E19E_13
416E116E_14

الأهمية في الواقع

رغم مثاليته، يعطي الجسيم في صندوق تقديرات جيدة على نحو مفاجئ كلما حُصر إلكترون في منطقة صغيرة. فهو يتنبأ باتجاهات لون أصباغ الجزيئات المترافقة والامتصاص القابل للضبط في النقاط الكمومية والبلورات النانوية وتباعد طاقة الإلكترونات في آبار أشباه الموصلات الضيقة. وكأداة تعليمية يُدخل التكميم وطاقة نقطة الصفر والدور المركزي للشروط الحدية.

قيد: جدران مثالية

يفترض النموذج جدرانًا لانهائية الارتفاع ومنطقة أحادية البعد تمامًا، فيكون الجسيم محصورًا بدقة ولا ينفق أبدًا. أما الآبار الحقيقية فلها عمق منتهٍ، يسمح بشيء من تسرب الدالة الموجية ويخفض الطاقات قليلًا. وللتقديرات الأولى ولفهم فيزياء الحصر، يبقى البئر المربع اللانهائي نقطة البدء المعيارية.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو نموذج الجسيم في صندوق؟

الجسيم في صندوق (أو البئر المربع اللانهائي) نموذج تأسيسي في ميكانيكا الكم. يُحصر جسيم في منطقة أحادية البعد طولها L بجدران عالية بحيث لا يمكنه الإفلات أبدًا. ويُظهر حل معادلة شرودنغر لهذا الوضع أن الجسيم لا يمكنه أن يملك أي طاقة كيفما اتفق: فلا يُسمح إلا بسلّم منفصل من القيم Eₙ = n²h² / (8mL²)، حيث n عدد صحيح موجب وh ثابت بلانك وm الكتلة. والنموذج بسيط بما يكفي ليُحل بدقة، ومع ذلك يلتقط السمة الكمومية الجوهرية: أن الحصر يؤدي إلى تكميم الطاقة.

ما هي صيغة مستويات الطاقة؟

الطاقات المسموحة هي Eₙ = n²h² / (8mL²)، حيث n = 1، 2، 3، … عدد الكم وh = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s ثابت بلانك وm كتلة الجسيم وL عرض الصندوق. ولأن الطاقة تتدرج كـ n²، تتباعد المستويات مع زيادة n: E₂ = 4E₁، E₃ = 9E₁، وهكذا. وللموجة الواقفة المقابلة طول دي برولي موجي λ = 2L / n، ينطبق فيه بالضبط n نصف طول موجي بين الجدارين.

لماذا تكون الطاقة مكمّاة؟

يجب أن تتلاشى الدالة الموجية عند جداري الصندوق كليهما، لأن الجسيم لا يمكن أن يوجد خارجه أبدًا. وهذا الشرط الحدي هو نفسه شرط وتر مهتز مثبت من طرفيه: فلا يُسمح إلا بالموجات الواقفة التي تنطبق فيها عدد صحيح من أنصاف الأطوال الموجية في الطول L. وتقابل كل موجة مسموحة كمية حركة محددة، ومن ثم طاقة محددة. وتحريم كل الأطوال الموجية الواقعة بينها هو ما يفرض الطاقة على سلّم منفصل بدلًا من مدى متصل.

أين يُستخدم هذا النموذج؟

رغم بساطته، يعطي الجسيم في صندوق تقديرات مفيدة لأنظمة حقيقية يكون فيها إلكترون محصورًا في منطقة صغيرة. فهو ينمذج لون أصباغ الجزيئات المترافقة وامتصاص النقاط الكمومية والبلورات النانوية وسلوك الإلكترونات في آبار أشباه الموصلات الضيقة. وهو أيضًا المثال الأول المعياري المستخدم لتعليم التكميم وطاقة نقطة الصفر ودور الشروط الحدية في ميكانيكا الكم.

التالي الموصى به

حاسبة الطول الموجي لدي برولي

احسب الطول الموجي لدي برولي لجسيم من كتلته وسرعته باستخدام λ = h/(m·v). أدخل الكتلة بالكيلوغرام والسرعة بالمتر في الثانية للحصول على الطول الموجي للمادة وكمية التحرك.

 اعرف المزيد
حاسبة مبدأ هايزنبرغ للاارتياب

احسب أدنى ارتياب في كمية الحركة والسرعة من مبدأ هايزنبرغ للاارتياب. أدخل ارتياب الموضع Δx وكتلة الجسيم لإيجاد Δp وΔv من Δx·Δp ≥ ħ/2.

 اعرف المزيد
حاسبة نموذج بور

احسب الطاقة ونصف القطر المداري وسرعة الإلكترون لذرة شبيهة بالهيدروجين باستخدام نموذج بور. أدخل عدد الكم الرئيسي n والعدد الذري Z لإيجاد E_n وr_n وv_n.

 اعرف المزيد

أكثر من 200 حاسبة · 10 لغات · مجاني 100٪

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

كيف يمكننا تحسين هذه الحاسبة؟
مدعوم من OneCalc ↗