آخر تحديث: 2026-06-14

حاسبة البندول البسيط

البندول البسيط كتلة تتأرجح بفعل الجاذبية على خيط خفيف أو قضيب. وبالنسبة إلى التأرجحات بزاوية صغيرة، فإن الزمن اللازم لإتمام دورة ذهاب وإياب كاملة — أي الزمن الدوري — يعتمد على طول البندول وقوة الجاذبية فقط: $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. لاحظ غاليليو أولاً أن الزمن الدوري لا يكاد يعتمد على مدى تأرجح البندول، وهي ملاحظة جعلت البندول قلب الساعات الدقيقة لثلاثة قرون.

تُوجد هذه الحاسبة الزمن الدوري والتردد من الطول والجاذبية، أو، في الوضع الآخر، تعمل عكسياً من زمن دوري مقيس إلى الطول الذي ينتجه.

لماذا يكون الطول هو ما يهمّ

ينمو الزمن الدوري مع الجذر التربيعي للطول. فمضاعفة الطول أربع مرات تضاعف الزمن الدوري مرة واحدة فقط، لذا يجب أن يكون البندول طويلاً على نحو مفاجئ ليتأرجح ببطء. يستغرق البندول الذي طوله نحو متر واحد قرابة ثانيتين لكل تأرجحة كاملة على الأرض — وهو أساس «بندول الثانية» القديم المستخدم في ساعات الأجداد. ولا تغيّر الزمن الدوري كتلة الثقل المتأرجح ولا سعة التأرجح (ضمن حدّ الزاوية الصغيرة)، وهو ما يجعل البندول مؤقّتاً موثوقاً.

الصيغة

الكمية	الرمز	المعنى
الزمن الدوري	$T$	زمن تأرجحة كاملة، $T = 2\pi\sqrt{L/g}$
الطول	$L$	المسافة من نقطة التعليق إلى مركز الثقل المتأرجح
الجاذبية	$g$	تسارع الجاذبية المحلي
التردد	$f$	التأرجحات في الثانية، $f = 1/T$

ولأن الجاذبية تظهر في الصيغة، فإن البندول نفسه يعمل بمعدّل مختلف في مكان آخر: فعلى القمر، حيث g نحو 1.62 م/ث²، يتأرجح بندول طوله متر واحد أبطأ بكثير، بزمن دوري قرب 4.9 ثانية.

مثال محلول

بندول طوله متر واحد ويقع على الأرض، حيث $g = 9.80665$ م/ث². زمنه الدوري هو:

$$\begin{aligned} T &= 2\pi\sqrt{L/g} \\ &= 2\pi\sqrt{1 / 9.80665} \\ &= 2\pi \times 0.3193 \\ &= 2.006\ \text{s} \end{aligned}$$

والتردد هو $f = 1/T = 0.499$ Hz، أي أقل بقليل من تأرجحة واحدة في الثانية في كل اتجاه. وبإدخال طول قدره 1 م يظهر هذا الناتج. وللعمل في الاتجاه الآخر — لنقل إنك قِست بندولاً عند ثانيتين تماماً وتريد طوله — بدّل إلى «من الزمن الدوري» فتُعيد الحاسبة $L = g \cdot (T/2\pi)^2 \approx 0.994$ م.

افتراض الزاوية الصغيرة

الصيغة النظيفة $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ هي تقريب صالح عندما تكون سعة التأرجح صغيرة، دون نحو 15° تقريباً. في ذلك النطاق تكون قوة الإرجاع متناسبة تقريباً مع الإزاحة، وهو شرط الحركة التوافقية البسيطة. أما للتأرجحات الأوسع فيزداد الزمن الدوري قليلاً — بنحو 1٪ عند 20° — لأن قوة الإرجاع الحقيقية تنمو أبطأ من الإزاحة. وتتطلّب النتائج الدقيقة للسعات الكبيرة تكاملاً إهليلجياً، لكن بالنسبة إلى الساعات والمترونومات ومعظم بندولات المختبر تكون صيغة الزاوية الصغيرة دقيقة بما يكفي وأكثر.

القيود

يعامل هذا النموذج الخيط على أنه عديم الكتلة والثقل المتأرجح على أنه نقطة، ويتجاهل مقاومة الهواء والاحتكاك عند نقطة التعليق، ويفترض مجالاً جاذبياً ثابتاً. أما البندول الحقيقي ذو القضيب الثقيل أو الثقل الممتدّ فهو بندول فيزيائي، يعتمد زمنه الدوري على عزم قصوره الذاتي والمسافة إلى مركز كتلته بدلاً من طول واحد.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هي صيغة الزمن الدوري للبندول؟

بالنسبة إلى بندول بسيط يتأرجح بزاوية صغيرة، يكون الزمن الدوري — أي زمن تأرجحة ذهاب وإياب كاملة — هو T = 2π√(L/g)، حيث L الطول من نقطة التعليق إلى مركز الثقل المتأرجح وg تسارع الجاذبية المحلي. والتردد، أي عدد التأرجحات في الثانية، هو مقلوبه: f = 1/T.

كيف يؤثّر الطول في الزمن الدوري؟

ينمو الزمن الدوري مع الجذر التربيعي للطول، فلمضاعفة الزمن الدوري يجب أن تجعل البندول أطول بأربع مرات. للبندول الذي طوله متر واحد زمن دوري نحو 2.0 ثانية على الأرض، ولهذا فإن «بندول الثانية» — الذي ينبض مرة في الثانية في كل اتجاه — يقلّ طوله قليلاً عن المتر. بدّل هذه الحاسبة إلى «من الزمن الدوري» لإيجاد الطول الدقيق لأي زمن دوري مستهدف.

لماذا لا تظهر الزاوية في الصيغة؟

الصيغة T = 2π√(L/g) هي تقريب الزاوية الصغيرة: فهي صالحة عندما يكون سعة التأرجح صغيرة (دون نحو 15°)، حيث تكون قوة الإرجاع متناسبة تقريباً مع الإزاحة. أما للتأرجحات الأكبر فيزداد الزمن الدوري قليلاً — بنحو 1٪ عند 20° وأكثر عند الزوايا الواسعة — ويتطلّب الزمن الدوري الدقيق تكاملاً إهليلجياً بدلاً من هذا التعبير البسيط.

هل تهمّ كتلة الثقل المتأرجح؟

لا. يعتمد الزمن الدوري للبندول البسيط على طوله والجاذبية المحلية فقط، لا على كتلة الثقل المتأرجح. فالبندول الثقيل والخفيف بالطول نفسه يتأرجحان معاً، لأن الجاذبية تعجّل جميع الكتل بالقدر نفسه — وهو السبب نفسه الذي يجعل الأجسام المختلفة الكتلة تسقط معاً. ولن تهمّ الكتلة إلا إذا كانت مقاومة الهواء أو الاحتكاك مؤثرة.