آخر تحديث: 2026-06-15

سرعة الموجة على وتر

اقرع وتر غيتار وستنطلق موجة جيئةً وذهابًا على طوله بسرعة تفوق سرعة السيارة على الطريق السريع. تعتمد هذه السرعة على شيئين فحسب: شدة شد الوتر وثقله لكل وحدة طول. تُحوِّل هذه الحاسبة هذين الكميتين إلى سرعة الموجة، وللوتر المثبت من طرفيه أيضًا إلى التردد الأساسي الذي يُحدد درجة نغمته الموسيقية.

أصل الصيغة

يقاوم الوتر المشدود الإزاحة (يسحبه الشد للخلف) ويقاوم التسارع (بكتلته). توازن سرعة الموجة بين هذين: زيادة الشد تعني قوة إعادة توازن أقوى وموجة أسرع، في حين أن زيادة الكتلة لكل وحدة طول تعني قصورًا ذاتيًا أكبر وموجة أبطأ. التحليل الديناميكي يُعطي $v = \sqrt{T/\mu}$، بالشد $T$ في البسط وكثافة الكتلة الخطية $\mu$ في المقام، كلاهما داخل جذر تربيعي.

الصيغة

تعتمد السرعة على الوتر وحده لا على الموجة — التردد والسعة لا يدخلان في الحساب.

مثال محلول

وتر غيتار تحت شد $T = 80\ \text{N}$ بكثافة $\mu = 0.001\ \text{kg/m}$ وطول اهتزازي $L = 0.65\ \text{m}$:

هذا قريب من نغمة لا3 (220 Hz)، وهي بالضبط درجة النغمة التي يُفترض أن يُصدرها مثل هذا الوتر.

الشد والطول ودرجة النغمة

لأن $f_1 = v/(2L) = \tfrac{1}{2L}\sqrt{T/\mu}$، يملك العازف ثلاثة مفاتيح للتحكم في درجة النغمة. شد الوتر أكثر يرفع السرعة والنغمة — لكن مع الجذر التربيعي للشد فحسب، لذا يحتاج رفع النغمة بأوكتاف إلى تضخيم الشد أربع مرات تقريبًا. الضغط على مشعل يُقصِّر $L$ ويرفع النغمة مباشرةً. والوتر الأثقل والأسمك يخفضها، ولهذا تكون الأوتار المنخفضة على الغيتار والبيانو هي الثقيلة الملفوفة.

القيود

تعامل الصيغة الوتر باعتباره مثاليًا من حيث المرونة والتجانس والسماكة، مع ثبات الشد على طوله. الأوتار الحقيقية لها صلابة طفيفة ترفع التوافقيات الأعلى قليلًا (تجعلها حادةً)، كما قد تتغير شدة الوتر المهتز قليلًا مع السعة. تفترض صيغة التردد الأساسي ثبات الوتر من طرفيه؛ وتُعطي شروط الحدود الأخرى أنماط علويات مختلفة.