Zuletzt aktualisiert: 2026-06-15

Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment ist für die Rotation das, was die Masse für die Translationsbewegung ist: Es beschreibt, wie hartnäckig sich ein Körper einer Änderung seiner Drehgeschwindigkeit widersetzt. Im Unterschied zur Masse hängt es jedoch davon ab, wo die Materie relativ zur Achse sitzt – Masse weit von der Achse entfernt spielt eine weit größere Rolle als Masse in Achsnähe, denn der Abstand geht quadratisch ein. Dieser Rechner liefert das Trägheitsmoment der üblichen Lehrbuchkörper aus Masse und Abmessungen.

Die allgemeine Form

Für einen Körper der Masse $m$ mit charakteristischer Ausdehnung $r$ gilt für alle Standardformen:

wobei $c$ ein dimensionsloser Koeffizient ist, der von Form und Achse abhängt. Der Abstand geht quadratisch ein – weshalb ein Rad mit schwerem Außenring so viel schwerer in Schwung zu bringen ist als eine Vollscheibe gleicher Masse: Masse weiter außen erhöht $I$ steil.

Koeffizienten für häufige Formen

Beim Stab ist $L$ die volle Länge; bei allen anderen Formen ist $r$ der Radius.

Rechenbeispiel

Eine Vollscheibe der Masse $m = 2\ \text{kg}$ und dem Radius $r = 0{,}5\ \text{m}$, die um ihre Mittelachse dreht:

Tauscht man die Scheibe gegen einen Ring gleicher Masse und gleichen Radius aus, springt der Koeffizient auf $c_\text{Ring} = 1$ und verdoppelt das Trägheitsmoment auf $0{,}5\ \text{kg·m}^2$ – denn beim Ring sitzt die gesamte Masse am Rand.

Achsverschiebung

Die obigen Koeffizienten gelten für bestimmte Achslagen. Um die Achse parallel zu verschieben, verwendet man den Steinerschen Anteil (Parallelachsentheorem):

wobei $I_\text{cm}$ das Trägheitsmoment um eine parallele Achse durch den Schwerpunkt und $d$ der Abstand zwischen den beiden Achsen ist. Der Eintrag „Stab um ein Ende" ist genau dieses Theorem auf einen Stab angewendet, mit $d = \tfrac{L}{2}$, was den Koeffizienten von $\tfrac{1}{12}$ auf $\tfrac{1}{3}$ hebt.

Bedeutung für die Rotationsmechanik

Ist $I$ bekannt, folgt der Rest der Rotationsmechanik unmittelbar: Die Rotationsenergie beträgt $\tfrac{1}{2}I\omega^2$, der Drehimpuls ist $I\omega$, und das für eine vorgegebene Winkelbeschleunigung benötigte Drehmoment ist $\tau = I\alpha$. Das Trägheitsmoment richtig zu bestimmen ist der erste Schritt in all diesen Berechnungen.