Ultimo aggiornamento: 2026-06-29

La precisione in virgola mobile

I computer memorizzano i numeri reali in un numero finito di bit, quindi la maggior parte dei valori viene conservata solo in modo approssimato. Questo calcolatore riporta la precisione dei formati binari IEEE 754 — mezza, singola, doppia e quadrupla — calcolando l'epsilon di macchina, il numero di cifre decimali affidabili e la spaziatura tra i numeri rappresentabili (l'ULP) a un valore scelto. Insieme, questi elementi spiegano perché l'aritmetica in virgola mobile è precisa ma non esatta.

Come un numero in virgola mobile memorizza un valore

Un numero IEEE 754 è scritto come un segno, una mantissa (le cifre significative) e un esponente che lo scala per una potenza di due — in modo molto simile alla notazione scientifica in base 2. Ogni formato fissa quanti bit ottiene la mantissa: la precisione mezza ha 11 bit di mantissa, la singola ne ha 24, la doppia 53 e la quadrupla 113 (ciascun conteggio include un bit principale implicito). Più bit ha la mantissa, più fine è la risoluzione.

Epsilon di macchina

La misura più pulita della risoluzione è l'epsilon di macchina, la differenza tra 1,0 e il successivo numero rappresentabile al di sopra di esso:

$\varepsilon = 2^{-(p-1)}$

dove $p$ è il numero di bit della mantissa. Per la precisione doppia, $\varepsilon = 2^{-52} \approx 2{,}22 \times 10^{-16}$. Questo è un limite relativo: qualsiasi numero reale viene memorizzato con un errore relativo al più pari a $\varepsilon / 2$. Il numero affidabile di cifre decimali significative ne deriva direttamente, come $(p-1)\log_{10} 2$ — circa 15,7 per la precisione doppia.

ULP: una spaziatura che cresce con la grandezza

L'epsilon di macchina descrive la spaziatura vicino a 1,0, ma i numeri in virgola mobile non sono distribuiti in modo uniforme. La distanza tra valori rappresentabili consecutivi, l'unità nell'ultima posizione (ULP), scala con la grandezza:

$\text{ULP}(x) = 2^{\lfloor \log_2 |x| \rfloor - (p-1)}$

Vicino a 1 la spaziatura è l'epsilon di macchina; vicino a 1000 è circa mille volte maggiore. È per questo che la virgola mobile mantiene una precisione relativa costante ma perde precisione assoluta man mano che i numeri crescono.

Esempio svolto

Prendiamo la precisione doppia e il valore 1000. L'esponente è $\lfloor \log_2 1000 \rfloor = 9$, quindi:

Il massimo errore di arrotondamento vicino a 1000 è la metà di questo, circa $5{,}7 \times 10^{-14}$. Pertanto un numero a precisione doppia può distinguere 1000 da 1000,0000000000001 ma non da un valore che differisce nella sedicesima cifra significativa.

Perché 0,1 non è esatto

La virgola mobile binaria può rappresentare solo somme di potenze di due, e 0,1 non ha un'espansione binaria finita — così come un terzo non ne ha una in decimale. Viene quindi arrotondato al valore rappresentabile più prossimo, motivo per cui 0.1 + 0.2 non è esattamente uguale a 0.3 nella maggior parte dei linguaggi. La discrepanza è dell'ordine dell'epsilon di macchina e di norma innocua, ma si accumula nel corso di calcoli lunghi ed è il motivo per cui il denaro viene spesso memorizzato come intero o in un tipo decimale anziché come numero in virgola mobile. Per sapere come gli interi stessi vengono codificati in binario, vedi il Complemento a due.