Ultimo aggiornamento: 2026-06-29

Coda M/M/1

La coda M/M/1 è il modello fondante della teoria delle code: un singolo servente che gestisce richieste che arrivano in modo casuale, con tempi di servizio casuali. Da soli due numeri — la velocità con cui arrivano le richieste e la velocità con cui il servente può elaborarle — prevede l’attesa media, il tempo di risposta medio e quanto cresce la coda. Il calcolatore restituisce tutte queste grandezze insieme all’utilizzo del servente.

Che cosa significa il nome

La notazione segue la classificazione di Kendall. La prima M indica che gli arrivi sono markoviani — seguono un processo di Poisson, vale a dire che ogni arrivo è indipendente e il conteggio in un qualsiasi intervallo è casuale. La seconda M indica che i tempi di servizio sono distribuiti in modo esponenziale. L’1 è il numero di serventi. Quindi M/M/1 significa "arrivi casuali, servizio casuale, un solo servente, coda illimitata, servizio in ordine di arrivo".

L’utilizzo determina tutto

La grandezza più importante in assoluto è l’utilizzo, la frazione di tempo in cui il servente è occupato:

$\rho = \dfrac{\lambda}{\mu}$

dove $\lambda$ è il tasso di arrivo e $\mu$ è il tasso di servizio, entrambi nella stessa unità di tempo. Il sistema è stabile solo quando $\rho < 1$; se le richieste arrivano almeno alla stessa velocità con cui possono essere servite, l’arretrato cresce senza limite. Da $\rho$ discendono le medie a regime:

$L = \dfrac{\rho}{1 - \rho}, \qquad L_q = \dfrac{\rho^2}{1 - \rho}$

$W = \dfrac{1}{\mu - \lambda}, \qquad W_q = \dfrac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}$

Qui $L$ è il numero medio nel sistema, $L_q$ il numero medio in attesa, $W$ il tempo di risposta medio e $W_q$ l’attesa media prima del servizio.

Esempio svolto

Un servente elabora 10 richieste al secondo ($\mu = 10$) e ne riceve 8 al secondo ($\lambda = 8$). L’utilizzo è $\rho = 0,8$ e:

Quindi una richiesta trascorre in media mezzo secondo nel sistema e quattro richieste sono presenti in ogni istante. Anche se il servente è occupato solo all’80%, il tempo di risposta è cinque volte il tempo di servizio puro di 0,1 s — gran parte di esso è attesa.

Il pericolo di un utilizzo elevato

Poiché $(1 - \rho)$ compare al denominatore di ogni formula, le metriche crescono rapidamente quando il servente si avvicina alla saturazione. Al 90% di utilizzo il numero medio nel sistema è 9; al 95% è 19; al 99% è 99. Questa esplosione non lineare è il motivo per cui chi pianifica la capacità lascia un margine invece di far funzionare le risorse vicino al 100%. La stessa idea di media è alla base della Calcolatore della legge di Little, che mette in relazione concorrenza, throughput e latenza senza assumere alcuna distribuzione particolare.

Il modello M/M/1 presuppone tempi di servizio esponenziali e spazio di coda illimitato, condizioni che i sistemi reali raramente soddisfano in modo esatto. Le sue previsioni vanno trattate come una guida prudente: quando i tempi di servizio sono più regolari di quelli esponenziali, le attese effettive sono di solito più brevi.