Ultimo aggiornamento: 2026-06-28

Il complemento a due

Il complemento a due è il metodo standard con cui i calcolatori digitali memorizzano e gestiscono gli interi con segno. Ogni architettura di processore diffusa — x86, ARM, RISC-V, MIPS — lo adotta per le proprie unità di aritmetica intera, perché la codifica consente di eseguire la sottrazione con lo stesso circuito dell'addizione e produce un unico schema di bit per lo zero.

Schema di codifica

Un registro a N bit in complemento a due contiene $2^N$ schemi di bit distinti. Metà di essi rappresentano interi non negativi ($0$ a $2^{N-1} - 1$), l'altra metà interi negativi ($-2^{N-1}$ a $-1$). La proprietà fondamentale è che il bit più significativo — il bit più a sinistra — funge da bit di segno: 0 per i valori non negativi, 1 per i valori negativi.

Per gli interi non negativi la codifica è identica al binario senza segno ordinario. Ad esempio, il numero 42 in un registro a 8 bit è:

$42_{10} = 0\!0\!1\!0\;1\!0\!1\!0_2 = \texttt{0x2A}$

Calcolo del complemento a due di un numero negativo

Per ricavare la codifica in complemento a due di un intero negativo $-n$ (con $n > 0$) in un registro a N bit, si somma $2^N$ al valore:

$\text{codifica di } {-n} = 2^N - n \quad \text{(su } N \text{ bit)}$

Per $-42$ a 8 bit: $2^8 - 42 = 256 - 42 = 214$. Scritto in binario e raggruppato in nibble:

Un metodo pratico alternativo consiste nell'invertire tutti i bit della codifica del valore positivo e poi aggiungere 1:

• $42_{10} = 0010\;1010_2$
• Inversione dei bit: $1101\;0101_2$
• Addizione di 1: $1101\;0110_2 = -42_{10}$ ✓

Entrambi i procedimenti producono lo stesso risultato.

Lettura di un valore in complemento a due

Per convertire una stringa binaria in complemento a due nel corrispondente valore decimale con segno, si esamina il bit di segno:

• Se il bit iniziale è 0, il valore è non negativo. Si legge come binario senza segno ordinario: $0111\;1111_2 = 127_{10}$.
• Se il bit iniziale è 1, il valore è negativo. Si sottrae $2^N$ dall'interpretazione senza segno: $1101\;0110_2 = 214_{10}$, quindi $214 - 256 = -42_{10}$.

Intervalli rappresentabili

Il bit di segno dimezza l'intervallo rispetto al binario senza segno. Un registro a N bit in complemento a due può rappresentare:

L'asimmetria — sempre un valore negativo in più rispetto ai valori positivi — deriva dal fatto che lo zero occupa una delle posizioni non negative, lasciando $2^{N-1} - 1$ valori strettamente positivi accanto a $2^{N-1}$ valori negativi.

Overflow

Quando il risultato di un'operazione aritmetica cade al di fuori dell'intervallo rappresentabile, il valore si avvolge — un fenomeno chiamato overflow. Con un registro a 8 bit, aggiungere 1 a 127 produce $0111\;1111 + 0000\;0001 = 1000\;0000$, che è la codifica di −128. I processori impostano generalmente un flag di overflow affinché il software possa rilevare e gestire questa condizione; l'operazione sui bit è comunque una semplice addizione modulare.

Confronto con la rappresentazione segno-valore assoluto

Una codifica alternativa, denominata segno-valore assoluto, riserva un bit al segno e i rimanenti N−1 bit al valore assoluto. Questo schema presenta due limitazioni. In primo luogo, lo zero ha due codifiche — zero positivo ($0000\;0000$) e zero negativo ($1000\;0000$) — il che costringe i confronti a trattare un caso speciale. In secondo luogo, l'addizione tra numeri di segno opposto richiede una logica separata per determinare quale operando sia maggiore e se eseguire un'addizione o una sottrazione. Il complemento a due risolve entrambi i problemi: un unico circuito sommatore gestisce tutti i casi e lo zero ha esattamente una rappresentazione ($0000\dots0$).