Ultimo aggiornamento: 2026-07-01

Coda M/M/c

La coda M/M/c estende il modello a server singolo a più server identici che condividono un’unica linea di attesa. È lo strumento di riferimento per la pianificazione del personale e della capacità: dal tasso di arrivo, dal tasso di servizio per server e dal numero di server prevede quanto spesso le richieste devono attendere, per quanto tempo attendono e quanto cresce la coda. Il calcolatore restituisce tutto questo insieme all’utilizzo per server.

Cosa significa il nome

La notazione segue la classificazione di Kendall. La prima M indica che gli arrivi sono markoviani — seguono un processo di Poisson, quindi ogni arrivo è indipendente. La seconda M indica che i tempi di servizio sono distribuiti esponenzialmente. La c è il numero di server. Quindi M/M/c significa «arrivi casuali, servizio casuale, c server, una coda condivisa illimitata, gestione in ordine». Con $c = 1$ si riduce alla normale coda M/M/1.

Utilizzo e carico offerto

Due grandezze governano tutto. Il carico offerto (in erlang) è il lavoro che arriva per unità di capacità di servizio:

$a = \dfrac{\lambda}{\mu}$

e l’utilizzo è quel carico distribuito tra i server:

$\rho = \dfrac{a}{c} = \dfrac{\lambda}{c\,\mu}$

dove $\lambda$ è il tasso di arrivo, $\mu$ il tasso di servizio per server e $c$ il numero di server. Il sistema è stabile solo quando $\rho < 1$; altrimenti le richieste arrivano più velocemente di quanto i server possano smaltirle e l’arretrato cresce senza limite.

La formula di Erlang C

L’output chiave è la probabilità che una richiesta in arrivo trovi tutti i server occupati e debba attendere. È la formula di Erlang C:

$P_{\text{wait}} = \dfrac{\dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}{\displaystyle\sum_{n=0}^{c-1}\dfrac{a^{n}}{n!} + \dfrac{a^{c}}{c!\,(1-\rho)}}$

Nota la probabilità di attesa, seguono le medie a regime:

$L_q = \dfrac{P_{\text{wait}}\,\rho}{1 - \rho}, \qquad W_q = \dfrac{L_q}{\lambda}$

$L = L_q + a, \qquad W = W_q + \dfrac{1}{\mu}$

Qui $L_q$ è il numero medio in attesa, $W_q$ l’attesa media prima del servizio, $L$ il numero medio nel sistema e $W$ il tempo medio di risposta.

Esempio svolto

Un service desk riceve 5 ticket al minuto ($\lambda = 5$) e ciascuno dei suoi 3 operatori ne risolve 2 al minuto ($\mu = 2$, $c = 3$). Il carico offerto è $a = 5/2 = 2{,}5$ erlang e l’utilizzo $\rho = 2{,}5/3 \approx 0{,}833$. La formula di Erlang C dà:

Quindi circa il 70 % dei ticket in arrivo attende, la coda contiene in media circa 3,5 ticket e l’attesa tipica è di circa 0,7 minuti prima che un operatore si liberi. Aggiungere un quarto operatore a parità di carico riduce nettamente la probabilità di attesa e la coda: è proprio il tipo di compromesso che questo modello è pensato per mettere in luce.

Accentrare batte dividere

Un risultato centrale della teoria delle code multiserver è che un’unica linea condivisa davanti a $c$ server è migliore di $c$ code separate a server singolo con la stessa capacità totale. L’accentramento attenua i momenti in cui un server è inattivo mentre un altro è sovraccarico, così l’attesa media cala. Per questo un’unica coda di ticket che alimenta molti operatori batte l’assegnazione a ciascun operatore di una casella propria. La stessa idea di media è alla base di Calcolatore della legge di Little, che lega concorrenza, throughput e latenza senza supporre alcuna distribuzione particolare, mentre il caso a server singolo è trattato da Calcolatore di coda M/M/1.

Il modello M/M/c presuppone tempi di servizio esponenziali e spazio in coda illimitato, che i sistemi reali raramente rispettano esattamente. Considera le sue previsioni come una guida alla pianificazione: quando i tempi di servizio sono più regolari di quelli esponenziali, le attese reali sono di solito più brevi di quanto suggerisce il modello.