Ultimo aggiornamento: 2026-06-16

Particella in una scatola

La particella in una scatola, detta anche buca di potenziale infinita, è uno dei primi problemi risolubili esattamente nella meccanica quantistica. Una singola particella è intrappolata in una regione unidimensionale di lunghezza $L$ da pareti così alte da non poter mai sfuggire. Risolvere l'equazione di Schrödinger sotto quel vincolo rivela che l'energia della particella non è libera di assumere un valore qualsiasi — è limitata a una scala discreta di livelli.

Questo calcolatore prende il numero quantico $n$, la massa della particella $m$ e la lunghezza della scatola $L$, e restituisce l'energia $E_n$ di quel livello insieme alla lunghezza d'onda di de Broglie $\lambda_n$ della corrispondente onda stazionaria.

Come funziona il modello

Poiché la particella non può mai essere trovata fuori dalla scatola, la sua funzione d'onda deve scendere a zero su entrambe le pareti. Quella condizione al contorno è identica a quella di una corda fissata a entrambe le estremità: sopravvivono solo le onde stazionarie che contengono un numero intero di semilunghezze d'onda nella lunghezza $L$. Ogni onda stazionaria permessa porta una quantità di moto definita, e quindi un'energia definita. Ogni altra lunghezza d'onda è vietata, ed è esattamente per questo che l'energia risulta quantizzata.

Il livello più basso, n = 1, è lo stato fondamentale. Ha un'energia non nulla — la particella non può mai essere completamente in quiete — che è l'illustrazione più semplice dell'energia di punto zero.

Formula

Poiché $E_n$ scala come $n^2$, i livelli si distanziano all'aumentare di $n$: $E_2 = 4E_1$, $E_3 = 9E_1$, e così via. Restringere la scatola o abbassare la massa spinge ogni livello più in alto.

Esempio svolto

Un elettrone ($m = 9.109 \times 10^{-31}\ \text{kg}$) è confinato in una scatola di lunghezza $L = 1\ \text{nm} = 1 \times 10^{-9}\ \text{m}$ nel suo stato fondamentale, n = 1.

Passo 1 — Energia:

Passo 2 — Lunghezza d'onda:

La singola semilunghezza d'onda copre l'intera larghezza della scatola, con nodi su ciascuna parete. Inserire questi valori nel calcolatore riproduce il risultato.

I livelli energetici a colpo d'occhio

Rilevanza pratica

Sebbene idealizzata, la particella in una scatola fornisce stime sorprendentemente buone ogni volta che un elettrone è confinato in una piccola regione. Prevede gli andamenti del colore dei coloranti a molecole coniugate, l'assorbimento sintonizzabile dei punti quantici e dei nanocristalli, e la spaziatura energetica degli elettroni nelle strette buche dei semiconduttori. Come strumento didattico introduce la quantizzazione, l'energia di punto zero e il ruolo centrale delle condizioni al contorno.

Limite: pareti idealizzate

Il modello assume pareti infinitamente alte e una regione perfettamente unidimensionale, quindi la particella è rigorosamente confinata e non fa mai effetto tunnel verso l'esterno. Le buche reali hanno profondità finita, il che consente una certa fuoriuscita della funzione d'onda e abbassa leggermente le energie. Per le prime stime e per comprendere la fisica del confinamento, la buca di potenziale infinita rimane il punto di partenza standard.