Última atualização: 2026-06-29

Precisão de ponto flutuante

Os computadores armazenam números reais em uma quantidade finita de bits, de modo que a maioria dos valores é mantida apenas de forma aproximada. Esta calculadora informa a precisão dos formatos binários IEEE 754 — meia, simples, dupla e quádrupla — calculando o épsilon de máquina, o número de dígitos decimais confiáveis e o espaçamento entre números representáveis (o ULP) em um valor escolhido. Em conjunto, esses números explicam por que a aritmética de ponto flutuante é precisa, mas não exata.

Como um float armazena um número

Um número IEEE 754 é escrito como um sinal, um significando (os dígitos significativos) e um expoente que o escala por uma potência de dois — muito parecido com a notação científica na base 2. Cada formato fixa quantos bits o significando recebe: a meia precisão tem 11 bits de significando, a simples tem 24, a dupla tem 53 e a quádrupla tem 113 (cada contagem inclui um bit principal implícito). Quanto mais bits de significando, mais fina a resolução.

Épsilon de máquina

A medida mais limpa de resolução é o épsilon de máquina, o intervalo entre 1,0 e o próximo número representável acima dele:

$\varepsilon = 2^{-(p-1)}$

onde $p$ é o número de bits do significando. Para a dupla precisão, $\varepsilon = 2^{-52} \approx 2,22 \times 10^{-16}$. Esse é um limite relativo: qualquer número real é armazenado com um erro relativo de no máximo $\varepsilon / 2$. O número confiável de dígitos decimais significativos decorre diretamente disso, como $(p-1)\log_{10} 2$ — cerca de 15,7 para a dupla precisão.

ULP: espaçamento que cresce com a magnitude

O épsilon de máquina descreve o espaçamento perto de 1,0, mas os números de ponto flutuante não são igualmente espaçados. O intervalo entre valores representáveis consecutivos, a unidade na última posição (ULP), escala com a magnitude:

$\text{ULP}(x) = 2^{\lfloor \log_2 |x| \rfloor - (p-1)}$

Perto de 1 o espaçamento é o épsilon de máquina; perto de 1.000 ele é cerca de mil vezes maior. É por isso que o ponto flutuante mantém precisão relativa constante, mas perde precisão absoluta à medida que os números crescem.

Exemplo resolvido

Tome a dupla precisão e o valor 1000. O expoente é $\lfloor \log_2 1000 \rfloor = 9$, então:

O maior erro de arredondamento perto de 1000 é metade disso, cerca de $5,7 \times 10^{-14}$. Assim, um double consegue distinguir 1000 de 1000,0000000000001, mas não de um valor que difere no décimo sexto dígito significativo.

Por que 0,1 não é exato

O ponto flutuante binário só consegue representar somas de potências de dois, e 0,1 não tem expansão binária finita — assim como um terço não tem nenhuma em decimal. Ela é, portanto, arredondada para o valor representável mais próximo, e é por isso que 0.1 + 0.2 não é exatamente igual a 0.3 na maioria das linguagens. A discrepância é da ordem do épsilon de máquina e geralmente inofensiva, mas se acumula em cálculos longos e é a razão pela qual o dinheiro costuma ser armazenado como inteiros ou em um tipo decimal, e não como um float. Para saber como os próprios inteiros são codificados em binário, veja o Calculadora de Complemento de Dois.