首頁 物理 波耳模型計算器 產生日期: 2026年6月17日 下午05:25 波耳模型計算器 輸入 主量子數1原子序1 物理 波耳模型計算器 使用波耳模型計算類氫原子的能量、軌道半徑與電子速率。輸入主量子數 n 與原子序 Z，即可求得 E_n、r_n 與 v_n。 公制 輸入 主量子數 ≥ 1 電子軌道的能階 n（1、2、3、…）。n = 1 為基態；n 越大表示軌道越大、能量越高。 原子序 ≥ 1 原子核中的質子數 Z。Z = 1 為氫。本模型處理類氫離子——一個電荷為 Z 的原子核搭配單一電子。 結果 輸入數值即可顯示計算結果。 能階 eV 電子在能階 n 的總能量 E_n = −13.6057 eV · Z²/n²。它為負值，因為電子處於束縛態；當 n 增大時能量趨近零。 詳細資料 軌道半徑 nm 波耳軌道的半徑 r_n = a₀ · n²/Z，其中 a₀ = 0.0529 nm 為波耳半徑。軌道隨 n² 增大，並隨 Z 增大而縮小。 電子速率 m/s 電子的軌道速率 v_n = (αc) · Z/n，其中 αc ≈ 2.19 × 10⁶ m/s。電子在內層軌道以及較大的 Z 時運動得較快。 分享 列印報告 重設 嵌入 嵌入這個計算機 預覽 將這段程式碼貼到您的網頁中即可顯示計算機。 複製程式碼 分享這個計算 開啟此連結的人都會看到您填入的數值。 複製連結 分享至 XFacebookLINE 電子郵件 最後更新：2026-06-16 波耳模型 波耳模型將類氫原子描述為一個單一電子，繞著一個正電原子核沿一組允許的圓形軌道之一運行。每條軌道都有固定的能量，而電子僅在軌道之間躍遷時才發射或吸收一個光子。此模型由尼爾斯·波耳於 1913 年提出，是第一個能解釋氫離散光譜譜線的模型。 本計算器接受主量子數 nn 與原子序 ZZ，並回傳能量 EnE_n、軌道半徑 rnr_n 與電子速率 vnv_n。 模型原理 波耳假設電子的角動量是量子化的，這使其被限制於特定的軌道。每條允許的軌道都有確定的半徑、速率與能量。由於能量是離散的，躍遷時所發射的光子恰好攜帶兩能階之間的能量差——進而產生原子光譜中所見的銳利譜線，而非連續的彩虹。 公式 物理量符號定義能階EnE_nEn=−13.6057 eV⋅Z2n2E_n = -13.6057\ \text{eV}\cdot \dfrac{Z^2}{n^2}軌道半徑rnr_nrn=a0 n2Z,a0=5.292×10−11 mr_n = a_0\,\dfrac{n^2}{Z},\quad a_0 = 5.292\times10^{-11}\ \text{m}電子速率vnv_nvn=αc Zn,αc≈2.188×106 m/sv_n = \alpha c\,\dfrac{Z}{n},\quad \alpha c \approx 2.188\times10^{6}\ \text{m/s} 此處 n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dots 為主量子數，ZZ 為原子序，a0a_0 為波耳半徑，α\alpha 為精細結構常數。 計算範例 對於基態氫，n = 1 且 Z = 1。 能量： E1=−13.6057 eV×1212=−13.61 eVE_1 = -13.6057\ \text{eV}\times\frac{1^2}{1^2} = -13.61\ \text{eV}E1=−13.6057 eV×1212=−13.61 eV 半徑： r1=a0×121=5.292×10−11 m=0.0529 nmr_1 = a_0\times\frac{1^2}{1} = 5.292\times10^{-11}\ \text{m} = 0.0529\ \text{nm}r1=a0×112=5.292×10−11 m=0.0529 nm 速率： v1=αc×11≈2.188×106 m/sv_1 = \alpha c\times\frac{1}{1} \approx 2.188\times10^{6}\ \text{m/s}v1=αc×11≈2.188×106 m/s 電子位於距質子 0.0529 nm 處，以約 0.7% 的光速運動，並被 13.6 eV 所束縛。 氫的能階 能階 nnEnE_n (eV)rnr_n (nm)1−13.610.0532−3.400.2123−1.510.4764−0.850.847∞0∞ 能階隨 nn 增大而彼此擠近，並收斂於零，亦即游離閾值。基態（n = 1）與自由電子之間 13.6 eV 的間隔，便是氫的游離能。 真實世界的關聯 波耳模型解釋了氫的巴耳麥、來曼與帕申光譜系，並給出正確的游離能。相同的公式搭配適當的 ZZ，可描述如 He⁺ 與 Li²⁺ 這類單電子離子。它至今仍是介紹原子結構以及能量量子化概念的標準入門。 限制 波耳模型僅對類氫（單電子）系統精確。它無法重現多電子原子的光譜、精細結構或化學鍵結，而其確定的軌道也與量子不確定性相牴觸。完整的量子力學以軌域取代軌道，不過波耳對氫的能量公式則完整地存留了下來。 常見問題（FAQ）什麼是波耳模型？波耳模型由尼爾斯·波耳於 1913 年提出，將原子描繪為一個微小的正電原子核，被電子沿固定的圓形路徑繞行，宛如行星繞太陽。其關鍵的新概念是：電子只能佔據某些能量量子化的允許軌道，並僅在這些軌道之間躍遷時才發射或吸收光。此模型成功解釋了氫的光譜譜線，並引入了主量子數 n，使其成為古典物理與現代量子力學之間的關鍵橋樑。 能階是如何計算的？在波耳模型中，類氫原子能階 n 的能量為 E_n = −13.6057 eV × Z²/n²，其中 Z 為原子序、n 為主量子數。對於氫（Z = 1），基態（n = 1）的 E₁ = −13.6 eV，第一激發態（n = 2）的 E₂ = −3.40 eV，依此類推。能量為負，因為電子被束縛於原子核；能量為零的電子才剛好幾乎自由。將基態電子完全移除所需的能量——氫為 13.6 eV——即為游離能。 什麼是波耳半徑？波耳半徑 a₀ ≈ 5.29 × 10⁻¹¹ m（0.0529 nm）是氫中最小軌道的半徑，對應於 n = 1 與 Z = 1。任何其他波耳軌道的半徑為 r_n = a₀ × n²/Z。軌道隨 n 迅速增大（n = 2 的軌道是 n = 1 的四倍大），並隨核電荷 Z 增大而縮小，因為更強的吸引力使電子被拉得更近。波耳半徑至今仍是原子物理中一個標準的長度尺度。 波耳模型有哪些限制？波耳模型僅對氫以及其他單電子（類氫）離子運作良好。它無法準確預測多電子原子的光譜、譜線的精細結構與相對強度，也無法描述化學鍵的形狀。它將電子描繪為沿確定圓形軌道運行的圖像，也與海森堡測不準原理相牴觸。現代量子力學以稱為軌域的三維機率分布取代軌道，但波耳模型對氫的能階公式至今仍然精確，並依舊是寶貴的教學工具。 推薦的下一個 芮得柏方程式計算器 由電子躍遷的兩個能階求氫光譜線的波長、頻率與光子能量。輸入較低與較高的主量子數 n₁ 與 n₂，即可得到位於來曼系、巴耳麥系或帕申系的譜線。 深入了解光子能量計算機 利用 E = h·f = h·c/λ 由波長或頻率計算光子能量。輸入奈米為單位的波長或赫茲為單位的頻率，即可得到以電子伏特或焦耳表示的光子能量。 深入了解德布羅意波長計算機 利用 λ = h/(m·v) 由粒子的質量與速度計算德布羅意波長。輸入以公斤為單位的質量及以公尺每秒為單位的速度，即可得到物質波波長與動量。 深入了解 200+ 計算機 · 10 種語言 · 完全免費 更多近代物理 一維無限位能井計算器光子能量計算機光電效應計算機波耳模型計算器長度收縮計算器相對論能量計算器 +11 more Show less 相對論動量計算器相對論速度合成計算器相對論都卜勒效應計算器重力紅移計算器重力時間膨脹計算器時間膨脹計算機核結合能計算器海森堡測不準原理計算器康普頓散射計算器德布羅意波長計算機質能等價計算機 其他物理計算機 運動學 牛頓第二運動定律計算機（F = ma）拋體運動：由射程與角度反推初速拋體運動：由最大高度與射程反推初速與角度拋體運動：擊中目標的發射角度拋體運動計算機斜面上的拋體運動力學 功率重量比計算機功與功率計算機由功率求力矩計算機向心力計算機自由落體計算機扭矩計算機角動量計算機弦上波速計算機虎克定律計算機阻力計算機軌道週期計算機浮力計算機逃逸速度計算機動量與衝量計算機動壓計算機斜面計算機旋轉運動學計算機終端速度計算機都卜勒效應計算機單擺計算機楊氏模量計算機萬有引力計算器運動學方程式計算機道路超高角計算機雷諾數計算機滾動運動能量計算機摩擦力計算機質量密度計算機靜水壓力計算機壓力計算機聲速計算機轉動動能計算機轉動慣量計算機能量 比熱容計算機卡諾效率計算機史蒂芬—波茲曼定律計算機均方根速率計算機重力位能計算機效率計算機動能計算機混合終態溫度計算機維恩位移定律計算機潛熱計算機熱傳導計算機熱膨脹計算機電磁學 555 計時器無穩態計算器分壓電路計算天線長度計算器功率因數校正計算器司乃耳定律計算機平行板電容計算機有效值、峰值與峰對峰電壓計算器串聯與並聯電阻計算串聯與並聯電容計算波長與頻率計算機庫侖定律計算機電功率計算機電位計算機電容抗計算器電容器電荷與儲能計算電感抗計算器電感器串並聯計算器電感器儲能計算磁力計算機導線電阻計算器導線磁場計算機歐姆定律計算機薄透鏡計算機螺線管磁場計算機鏡片製造者方程式計算機變壓器匝數比計算LC 諧振頻率計算LED 串聯電阻計算器RC 時間常數計算RC 濾波器截止頻率計算器RLC 阻抗計算器RLC 品質因數與頻寬計算器天文學 史瓦西半徑計算器光行時間計算器表面重力計算器哈伯定律計算器恆星光度計算器洛希極限計算器紅移轉速度計算器望遠鏡放大率計算器視角計算器視差距離計算器距離模數計算器會合週期計算器所有工具 拍頻計算機駐波諧波計算機 這個計算機對您有幫助嗎？ 有幫助 需要改進 需要改進 我們可以如何改進這個計算機？ 送出回饋 由 OneCalc 提供 ↗
最後更新：2026-06-16 波耳模型 波耳模型將類氫原子描述為一個單一電子，繞著一個正電原子核沿一組允許的圓形軌道之一運行。每條軌道都有固定的能量，而電子僅在軌道之間躍遷時才發射或吸收一個光子。此模型由尼爾斯·波耳於 1913 年提出，是第一個能解釋氫離散光譜譜線的模型。 本計算器接受主量子數 nn 與原子序 ZZ，並回傳能量 EnE_n、軌道半徑 rnr_n 與電子速率 vnv_n。 模型原理 波耳假設電子的角動量是量子化的，這使其被限制於特定的軌道。每條允許的軌道都有確定的半徑、速率與能量。由於能量是離散的，躍遷時所發射的光子恰好攜帶兩能階之間的能量差——進而產生原子光譜中所見的銳利譜線，而非連續的彩虹。 公式 物理量符號定義能階EnE_nEn=−13.6057 eV⋅Z2n2E_n = -13.6057\ \text{eV}\cdot \dfrac{Z^2}{n^2}軌道半徑rnr_nrn=a0 n2Z,a0=5.292×10−11 mr_n = a_0\,\dfrac{n^2}{Z},\quad a_0 = 5.292\times10^{-11}\ \text{m}電子速率vnv_nvn=αc Zn,αc≈2.188×106 m/sv_n = \alpha c\,\dfrac{Z}{n},\quad \alpha c \approx 2.188\times10^{6}\ \text{m/s} 此處 n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dots 為主量子數，ZZ 為原子序，a0a_0 為波耳半徑，α\alpha 為精細結構常數。 計算範例 對於基態氫，n = 1 且 Z = 1。 能量： E1=−13.6057 eV×1212=−13.61 eVE_1 = -13.6057\ \text{eV}\times\frac{1^2}{1^2} = -13.61\ \text{eV}E1=−13.6057 eV×1212=−13.61 eV 半徑： r1=a0×121=5.292×10−11 m=0.0529 nmr_1 = a_0\times\frac{1^2}{1} = 5.292\times10^{-11}\ \text{m} = 0.0529\ \text{nm}r1=a0×112=5.292×10−11 m=0.0529 nm 速率： v1=αc×11≈2.188×106 m/sv_1 = \alpha c\times\frac{1}{1} \approx 2.188\times10^{6}\ \text{m/s}v1=αc×11≈2.188×106 m/s 電子位於距質子 0.0529 nm 處，以約 0.7% 的光速運動，並被 13.6 eV 所束縛。 氫的能階 能階 nnEnE_n (eV)rnr_n (nm)1−13.610.0532−3.400.2123−1.510.4764−0.850.847∞0∞ 能階隨 nn 增大而彼此擠近，並收斂於零，亦即游離閾值。基態（n = 1）與自由電子之間 13.6 eV 的間隔，便是氫的游離能。 真實世界的關聯 波耳模型解釋了氫的巴耳麥、來曼與帕申光譜系，並給出正確的游離能。相同的公式搭配適當的 ZZ，可描述如 He⁺ 與 Li²⁺ 這類單電子離子。它至今仍是介紹原子結構以及能量量子化概念的標準入門。 限制 波耳模型僅對類氫（單電子）系統精確。它無法重現多電子原子的光譜、精細結構或化學鍵結，而其確定的軌道也與量子不確定性相牴觸。完整的量子力學以軌域取代軌道，不過波耳對氫的能量公式則完整地存留了下來。 常見問題（FAQ）什麼是波耳模型？波耳模型由尼爾斯·波耳於 1913 年提出，將原子描繪為一個微小的正電原子核，被電子沿固定的圓形路徑繞行，宛如行星繞太陽。其關鍵的新概念是：電子只能佔據某些能量量子化的允許軌道，並僅在這些軌道之間躍遷時才發射或吸收光。此模型成功解釋了氫的光譜譜線，並引入了主量子數 n，使其成為古典物理與現代量子力學之間的關鍵橋樑。 能階是如何計算的？在波耳模型中，類氫原子能階 n 的能量為 E_n = −13.6057 eV × Z²/n²，其中 Z 為原子序、n 為主量子數。對於氫（Z = 1），基態（n = 1）的 E₁ = −13.6 eV，第一激發態（n = 2）的 E₂ = −3.40 eV，依此類推。能量為負，因為電子被束縛於原子核；能量為零的電子才剛好幾乎自由。將基態電子完全移除所需的能量——氫為 13.6 eV——即為游離能。 什麼是波耳半徑？波耳半徑 a₀ ≈ 5.29 × 10⁻¹¹ m（0.0529 nm）是氫中最小軌道的半徑，對應於 n = 1 與 Z = 1。任何其他波耳軌道的半徑為 r_n = a₀ × n²/Z。軌道隨 n 迅速增大（n = 2 的軌道是 n = 1 的四倍大），並隨核電荷 Z 增大而縮小，因為更強的吸引力使電子被拉得更近。波耳半徑至今仍是原子物理中一個標準的長度尺度。 波耳模型有哪些限制？波耳模型僅對氫以及其他單電子（類氫）離子運作良好。它無法準確預測多電子原子的光譜、譜線的精細結構與相對強度，也無法描述化學鍵的形狀。它將電子描繪為沿確定圓形軌道運行的圖像，也與海森堡測不準原理相牴觸。現代量子力學以稱為軌域的三維機率分布取代軌道，但波耳模型對氫的能階公式至今仍然精確，並依舊是寶貴的教學工具。
