最後更新：2026-06-14

自由落體

自由落體描述物體僅受重力作用、無空氣阻力時的運動。從靜止狀態落下的物體，在時間 $t$ 內落下距離 $h = \tfrac{1}{2} g t^2$，並達到速度 $v = g t$，其中 $g$ 為重力加速度，在地球表面附近約為 9.81 m/s²。兩式結合後可直接由高度求落地速度：$v = \sqrt{2 g h}$。由於所有物體的加速度相同，與質量無關，在真空中羽毛和鐵鎚同時落地——這一現象在阿波羅 15 號任務中於月球上實際示範過。

本計算機可求落下距離、落下時間及落地速度，從已知的落下時間或落下高度任一條件出發均可計算。

自由落體方程式

物理量	公式	說明
落下距離	$h = \tfrac{1}{2} g t^2$	與時間的平方成正比
落下時間	$t = \sqrt{2h/g}$	由距離公式整理而得
落地速度	$v = g t = \sqrt{2 g h}$	兩種等效形式

由於距離與 $t^2$ 成正比，時間加倍時落下距離增為四倍。這些公式是等加速度運動方程式應用於從靜止落下之特殊情況。

計算範例

一顆石子從 45 m 高的懸崖落下，到達地面的時間為：

$$\begin{aligned} t &= \sqrt{2h/g} \\ &= \sqrt{2 \times 45 / 9.81} \\ &\approx 3.03\ \text{s} \end{aligned}$$

落地時的速度為：

$$\begin{aligned} v &= \sqrt{2 g h} \\ &= \sqrt{2 \times 9.81 \times 45} \\ &\approx 29.7\ \text{m/s} \end{aligned}$$

這相當於約 107 km/h。選擇「從落下高度求解」並輸入 45 m 即可重現這兩個結果。

高度與時間的關係

由於距離與 $t^2$ 成正比，而速度僅與 $t$ 成線性關係，落下時間加倍時所經過的距離增為四倍，但落地速度僅增為兩倍。這正是長距離落體的最後時刻會增加如此多高度的原因：落下 3 秒的石子約經過 44 m，而落下 4 秒的石子則經過 78 m。本計算機可雙向運算，由落下時間求落地速度與距離，或由落下高度求時間與速度。預設重力為地球的 9.81 m/s²；若有需要，月球與火星的預設值收納於常數區中。

空氣阻力的影響

這些方程式假設重力為唯一作用力，對密實緊湊的物體在短距離內是良好的近似。在真實空氣中，阻力隨速度增加，直到與重力平衡，物體不再加速，達到終端速度——跳傘者以展體姿勢下落時約為 53 m/s，但羽毛或紙張的終端速度遠低於此。對於輕小物體或長距離落體，自由落體模型會高估真實速度，需採用含阻力的模型才能得到準確結果。

常見問題（FAQ）

自由落體的公式有哪些？

對於從靜止狀態自由落下（無空氣阻力）的物體，落下距離為 h = ½·g·t²，落地速度為 v = g·t，兩者合併可得 v = √(2·g·h)。其中 g 為重力加速度（地球約為 9.81 m/s²），t 為落下時間。由於距離與 t² 成正比，時間加倍則落下距離增為四倍。

物體落地時的速度有多快？

從靜止狀態自由落下的物體，落地速度為 v = √(2·g·h)，其中 h 為落下高度。例如，從 20 m 高處落下的石頭，落地速度為 √(2 × 9.81 × 20) ≈ 19.8 m/s，約為 71 km/h。此計算未考慮空氣阻力，對輕小物體或長距離落體而言誤差較大。

應使用哪個重力加速度數值？

在地球表面附近，標準值為 g = 9.80665 m/s²，通常取近似值 9.81 或 9.8 m/s²。實際值因緯度和海拔略有差異，從赤道的約 9.78 到極地的約 9.83 不等。在其他天體上差異顯著：月球約為 1.62 m/s²，火星約為 3.72，木星約為 24.8。本計算機允許直接設定 g 的值。

本計算機有考慮空氣阻力嗎？

沒有。這些公式描述理想自由落體，即重力為唯一作用力的情況。在真實空氣中，阻力隨速度增加，直到與重力平衡，物體達到終端速度——跳傘者展體下落時約為 53 m/s。自由落體模型對密實緊湊的物體在短距離內是準確的，但對輕小物體或長距離落體會高估速度，需採用含阻力的模型才能得到準確結果。