最後更新：2026-06-16

重力時間膨脹

重力時間膨脹是愛因斯坦廣義相對論的結果：時鐘在較強的重力場中走得較慢。深陷重力井中的時鐘會落後於遠處一個完全相同的時鐘。此效應在地球上微乎其微，但在中子星與黑洞這類極為緻密的天體附近卻變得相當顯著。

本計算器接受天體質量 $M$、距其中心的距離 $r$，以及在該半徑處量測的固有時間間隔 $t_0$，並回傳膨脹因子，以及當 $t_0$ 在質量附近流逝時，遠方觀察者所記錄的時間 $t$。

重力時間膨脹的原理

在廣義相對論中，質量使時空彎曲，而這種彎曲會減緩時間的流逝。時鐘越靠近龐大天體，其速率就越落後於遠離任何重力的時鐘。由於遠方觀察者的時鐘走得相對較快，他們所記錄的時間間隔會比深陷重力井中的時鐘更長——靠近質量的時鐘看起來走得較慢。

此效應由史瓦西半徑 $2GM/c^2$ 與實際半徑 $r$ 之比所主宰。當 $r$ 遠大於史瓦西半徑時，修正可忽略；當 $r$ 朝其縮減時，膨脹便發散。

公式

物理量	符號	定義
膨脹因子	$\gamma_g$	$\gamma_g = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 2GM/rc^2}}$
固有時間	$t_0$	半徑 $r$ 處時鐘所量測的時間
遠方時間	$t$	$t = \dfrac{t_0}{\sqrt{1 - 2GM/rc^2}}$
重力常數	$G$	$6.674\,30 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}$
光速	$c$	$299\,792\,458\ \text{m/s}$（精確值）

此因子永遠大於一。當 $r \to \infty$ 時它趨近一，膨脹消失；當 $r$ 趨近史瓦西半徑 $2GM/c^2$ 時則無上限地增長。

計算範例

考慮位於太陽表面的時鐘：$M = 1.989 \times 10^{30}\ \text{kg}$、$r = 6.9634 \times 10^8\ \text{m}$。

步驟 1 — 史瓦西比值：

$$\frac{2GM}{rc^2} = \frac{2(6.674 \times 10^{-11})(1.989 \times 10^{30})}{(6.9634 \times 10^8)(2.998 \times 10^8)^2} \approx 4.24 \times 10^{-6}$$

步驟 2 — 膨脹因子：

$$\gamma_g = \frac{1}{\sqrt{1 - 4.24 \times 10^{-6}}} \approx 1.0000021$$

位於太陽表面的時鐘，相較於遠方時鐘約慢了百萬分之二。在一年之內，遠方觀察者會多記錄約 67 秒。在計算器中輸入這些數值即可重現此結果。

不同場強下的膨脹

天體	$2GM/rc^2$	膨脹因子
地球表面	$1.4 \times 10^{-9}$	1.0000000007
太陽表面	$4.2 \times 10^{-6}$	1.0000021
白矮星表面	$\sim 10^{-4}$	$\sim 1.00005$
中子星表面	$\sim 0.3$	$\sim 1.2$

真實世界的關聯

重力時間膨脹並非僅止於理論。GPS 衛星在重力較弱處運行，相對於地面時鐘每天約快 45 微秒；這必須加以修正，否則定位每天會偏移數公里。龐德–雷布卡實驗在一座 22 公尺高的塔上量測到此頻移，而今日的原子鐘甚至能偵測到不到一公尺高度差所造成的差異。

限制：靜態、非旋轉的質量

本計算器使用史瓦西度規，它描述一個球形、非旋轉、不帶電的質量。它要求半徑必須位於史瓦西半徑 $2GM/c^2$ 之外。旋轉（克爾度規）、電荷，以及狹義相對論中以速度為基礎的時間膨脹，皆為此處未納入的獨立效應。

常見問題（FAQ）

什麼是重力時間膨脹？

重力時間膨脹是愛因斯坦廣義相對論的一項預測：時鐘在較強的重力場中走得較慢。靠近龐大天體的時鐘走得比遠處一個完全相同的時鐘更慢。此效應由 t = t₀ / √(1 − 2GM/rc²) 給出，其中 M 為質量、r 為距其中心的距離、G 為重力常數、c 為光速。它有別於狹義相對論中以速度為基礎的時間膨脹，後者取決於相對運動而非重力。

重力時間膨脹的公式是什麼？

對於非旋轉的球形質量，史瓦西解給出 t = t₀ / √(1 − 2GM/rc²)。量 2GM/c² 即為史瓦西半徑。當 r 遠大於此半徑時，平方根接近一，膨脹微乎其微；當 r 趨近史瓦西半徑時，分母趨近零，膨脹便無上限地增長。此因子永遠大於一，因此遠方觀察者所記錄的流逝時間，總是多於深陷重力井中的時鐘。

為什麼 GPS 衛星要修正時間膨脹？

GPS 衛星在地球上空約 20 000 公里處運行，那裡重力較弱，因此其時鐘因重力時間膨脹而比地面時鐘每天約快 45 微秒。其軌道速度所造成的狹義相對論性膨脹則使它們每天約慢 7 微秒，淨增益約為每天 38 微秒。若不修正這兩種效應，定位誤差會以每天數公里的速度累積，因此衛星時鐘被刻意預先偏移。

黑洞附近的時間會發生什麼事？

當物體趨近黑洞的事件視界——位於史瓦西半徑處的表面——時，重力時間膨脹會變得極端。遠方觀察者會看到墜落的物體變慢、其光線紅移，看似在視界處凍結而永遠無法跨越，然而物體本身卻在有限的固有時間內跨越。恰好在視界處，膨脹因子會發散，這正是為何本計算器要求半徑必須位於史瓦西半徑之外。