最後更新：2026-06-14

虎克定律

虎克定律指出，使彈性物體伸長或壓縮所需的力與其偏離自然長度的位移成正比：$F = k \cdot x$。其中 $F$ 的單位為牛頓，位移 $x$ 的單位為公尺，彈簧係數 $k$（即物體的勁度）的單位為牛頓每公尺。羅伯特·虎克於 1678 年以拉丁文變位詞 ut tensio, sic vis（「延伸多少，力就多少」）發表了這一原理。

本計算機可求解 $F = k \cdot x$ 中任意一個數值，並回報彈簧中儲存的彈性位能。

力、勁度與形變量

彈簧係數 $k$ 反映彈簧的勁度：數值大表示施加較大的力才能產生微小的伸長；數值小表示彈簧容易伸長。形變量 $x$ 始終從彈簧的自然長度（未受力時的長度）量起，而非其他參考點。彈簧對外力的回應是大小相等、方向相反的回復力，因此描述回復力時常寫成 $F = -k \cdot x$。

公式

求解目標	公式	適用情況
彈簧力	$F = k \cdot x$	已知彈簧係數和形變量
彈簧係數	$k = F / x$	已知外力和其引起的伸長量
形變量	$x = F / k$	已知外力和彈簧係數
彈性位能	$E_p = \tfrac{1}{2} k x^2$	每次計算均一併顯示

儲存的能量與形變量的平方成正比，因此形變量增加一倍時儲存能量增為四倍。

計算範例

一個勁度係數 $k = 200$ N/m 的彈簧被拉伸 $x = 0.1$ m，所需外力為：

$$\begin{aligned} F &= k \cdot x \\ &= 200 \times 0.1 \\ &= 20\ \text{N} \end{aligned}$$

彈簧儲存的彈性位能為：

$$\begin{aligned} E_p &= \tfrac{1}{2} k x^2 \\ &= \tfrac{1}{2} \times 200 \times (0.1)^2 \\ &= 1\ \text{J} \end{aligned}$$

在計算機中選擇「求彈簧力」並輸入 200 N/m 和 0.1 m 即可重現這兩個結果。

測量彈簧係數

虎克定律提供了一種測量彈簧勁度的簡便方法：將已知重物懸掛於彈簧上並記錄伸長量。0.5 kg 的質量施加的力約為 $0.5 \times 9.81 = 4.9$ N。若彈簧伸長了 0.025 m，則彈簧係數為 $k = F / x = 4.9 / 0.025 \approx 196$ N/m。使用多個不同重量並繪製力與伸長量的關係圖，可得一條直線，其斜率即為 $k$——這是物理實驗室中的標準練習題。

彈性限度

虎克定律的線性關係只在材料的彈性限度內成立，即在移除外力後物體能回復原始形狀的範圍內。若將彈簧或金屬絲拉伸超過彈性限度，材料將超過降伏點，產生永久變形，不再遵循線性關係 $F = k \cdot x$。超過此點後，所需的力呈非線性增長，直至材料最終斷裂。真實的彈簧也有一定的形變範圍，只有在彈簧圈既未完全壓縮也未過度拉伸的情況下才遵守虎克定律。

常見問題（FAQ）

什麼是虎克定律？

虎克定律指出，使彈簧伸長或壓縮所需的力與形變量成正比：F = k·x。其中 F 為外力，x 為彈簧從自然長度的形變量，k 為彈簧係數。彈簧對外力的回復力大小相等、方向相反，因此描述回復力時常寫成 F = −k·x。

什麼是彈簧係數？

彈簧係數 k 衡量彈簧的勁度——使彈簧每單位長度伸長或壓縮所需的力，單位為牛頓每公尺（N/m）。勁度大的彈簧在相同外力下形變量小，勁度小的彈簧則容易伸長。可透過以已知力除以其引起的形變量求得：k = F ÷ x。

伸長的彈簧儲存了多少能量？

符合虎克定律的彈簧儲存的彈性位能為 Eₚ = ½·k·x²，其中 k 為彈簧係數，x 為形變量。由於能量與形變量的平方成正比，形變量增加一倍會使儲存能量增加四倍。本計算機在顯示彈簧力的同時也會回報儲存能量。

虎克定律在什麼情況下失效？

虎克定律只在材料的彈性限度內成立——即在移除外力後能回復原始形狀的範圍內。若將彈簧或金屬絲拉伸超過彈性限度，材料將超過降伏點，產生永久變形，不再遵循線性關係 F = k·x。超過此點後，所需的力呈非線性增長，直至材料斷裂。