最後更新：2026-06-15

斜面

斜面上的物塊是力學中最有用的圖像之一。它展示了單一力——重力——如何分解成承擔不同作用的分量，並奠定了從滑雪坡道、裝卸坡道到螺紋和楔子等一切事物的基礎。關鍵步驟是將重力分解為沿斜面方向和垂直壓入斜面方向的分量。本計算機替你完成這一步，回傳沿斜面的加速度，以及法向力、沿斜面分力、摩擦力和重力。

重力的分解

重力永遠垂直向下，但在斜面上將其分解為兩個垂直方向更為方便：沿斜面方向和垂直壓入斜面方向。沿斜面的分量 $mg\sin\theta$ 是使物塊向下滑動的力。垂直壓入斜面的分量 $mg\cos\theta$ 由斜面平衡，等於法向力 $N$。摩擦力則以最高 $\mu N = \mu mg\cos\theta$ 的力抵抗滑動。

公式

物理量	符號	意義
沿斜面分力	$F_\parallel$	$mg\sin\theta$
法向力	$N$	$mg\cos\theta$
摩擦力	$f$	$\mu mg\cos\theta$
加速度	$a$	滑動時 $g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$

只要斜面分量不超過最大摩擦力，物塊就保持靜止，化簡為 $\tan\theta \le \mu$。一旦 $\tan\theta > \mu$，物塊滑動並以 $a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta)$ 加速。無摩擦時簡化為 $a = g\sin\theta$。

計算範例

一個 5 kg 的物塊放在 30° 斜面上，摩擦係數 $\mu = 0.2$（取 $g = 9.80665\ \text{m/s}^2$）。各分量為：

$$\begin{aligned} W &= mg = 49.0\ \text{N} \\ F_\parallel &= mg\sin 30^\circ = 24.5\ \text{N} \\ N &= mg\cos 30^\circ = 42.5\ \text{N} \\ f &= \mu N = 8.5\ \text{N} \end{aligned}$$

由於 $\tan 30^\circ \approx 0.58$ 大於 $\mu = 0.2$，物塊滑動，加速度為：

$$\begin{aligned} a &= g(\sin 30^\circ - \mu\cos 30^\circ) \\ &= 9.80665 \times (0.5 - 0.2 \times 0.866) \\ &= 3.20\ \text{m/s}^2 \end{aligned}$$

滑動條件

注意到質量在滑動條件 $\tan\theta > \mu$ 中相消。這意味著物塊是否滑動只取決於角度和摩擦係數，而與重量無關——同種材料的羽毛和磚塊在同樣的角度下滑動。臨界角 $\arctan\mu$ 稱為靜止角（安息角），是物體能靜置的最陡斜面角度。

限制說明

此模型將物塊視為在平直斜面上滑動的質點，忽略轉動、滾動和傾覆傾向。模型使用單一摩擦係數；實際上靜摩擦係數（決定滑動臨界值）略高於動摩擦係數（決定開始運動後的加速度）。此外，模型忽略空氣阻力，並假設斜面為剛性且平直。

常見問題（FAQ）

斜面上物塊的計算公式是什麼？

將重力 m·g 分解為兩個分量：沿斜面方向的分量 m·g·sin θ，以及垂直壓入斜面的分量 m·g·cos θ。後者等於法向力 N，因此摩擦力為 f = μ·N = μ·m·g·cos θ。沿斜面的合力為 m·g·sin θ − f，物塊滑動時加速度為 a = g·(sin θ − μ·cos θ)。無摩擦時簡化為 a = g·sin θ。

為什麼斜面上的法向力小於重力？

在水平地面上，表面必須支撐全部重力，因此 N = m·g。在斜面上，只有垂直壓入表面的重力分量才壓在斜面上——即 m·g·cos θ。坡角越陡，cos θ 越小，法向力越小；在垂直壁（θ = 90°）時法向力降為零。重力的另一部分 m·g·sin θ 沿斜面作用，是使物塊下滑的力。

物塊在什麼角度下開始滑動？

當重力的斜面分量不超過最大摩擦力時，物塊保持靜止：m·g·sin θ ≤ μ·m·g·cos θ，化簡為 tan θ ≤ μ。因此，當 tan θ 超過摩擦係數時，物塊開始滑動——即坡角達到 arctan μ 時。質量相消，因此同種材料的重物與輕物在完全相同的角度下滑動。

什麼是靜止角（安息角）？

靜止角是物體（或鬆散材料堆）能保持靜止而不滑動的最大坡角，等於 arctan μ，其中 μ 是靜摩擦係數。係數為 0.6 時，靜止角約為 31°；砂和礫石的靜止角通常在 30°–35° 之間。超過此角度，摩擦力無法再支撐材料，材料開始流動。