首頁 物理 一維無限位能井計算器 產生日期: 2026年6月17日 下午05:25 一維無限位能井計算器 輸入 量子數1粒子質量9.1094e-31 kg位能井寬度1 nm 物理 一維無限位能井計算器 計算粒子在一維無限位能井中的量子化能階。輸入量子數、粒子質量與位能井寬度，即可求得能量 Eₙ 以及駐波的德布羅意波長。 公制 輸入 量子數 ≥ 1 能階指標 n = 1、2、3、…。最低能階（基態）為 n = 1；較大的整數標示激發態。 粒子質量 kg 被侷限粒子的質量。預設值為電子質量，9.109 × 10⁻³¹ kg。較重的粒子能階間距較密。 位能井寬度 nm 粒子被囚禁其中的一維位能井寬度 L。較窄的位能井會將能階推得更高、彼此分得更開。 結果 輸入數值即可顯示計算結果。 能階 eV 量子化能量 Eₙ = n²h² / (8mL²)。只允許這些離散值；粒子的能量絕不可能介於兩相鄰能階之間。 詳細資料 波長 nm 能階 n 駐波的德布羅意波長：λ = 2L / n。位能井寬度恰好容納 n 個半波長，因此波在兩壁皆有節點的情況下完美契合。 分享 列印報告 重設 嵌入 嵌入這個計算機 預覽 將這段程式碼貼到您的網頁中即可顯示計算機。 複製程式碼 分享這個計算 開啟此連結的人都會看到您填入的數值。 複製連結 分享至 XFacebookLINE 電子郵件 最後更新：2026-06-16 一維無限位能井 一維無限位能井，也稱為無限深方形位能井，是量子力學中最早可被精確求解的問題之一。一個粒子被高到永遠無法逃脫的壁囚禁在長度為 LL 的一維區域中。在此約束下求解薛丁格方程式可揭示，粒子的能量並非可自由取任何值——它被限制在一階梯式的離散能階上。 本計算器接受量子數 nn、粒子質量 mm 與位能井寬度 LL，並回傳該能階的能量 EnE_n，以及對應駐波的德布羅意波長 λn\lambda_n。 模型原理 由於粒子絕不可能出現在位能井之外，其波函數必須在兩壁皆降為零。這個邊界條件與兩端固定的弦完全相同：只有恰好在長度 LL 中容納整數個半波長的駐波才能存留。每一個允許的駐波攜帶一個確定的動量，進而對應一個確定的能量。其他所有波長皆被禁止，這正是能量呈現量子化的原因。 最低能階 n = 1 為基態。它具有非零的能量——粒子永遠無法完全靜止——這是零點能最簡單的例證。 公式 物理量符號定義能階EnE_nEn=n2h28mL2E_n = \dfrac{n^2 h^2}{8 m L^2}量子數nnn=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dots德布羅意波長λn\lambda_nλn=2Ln\lambda_n = \dfrac{2L}{n}普朗克常數hh6.626 070 15×10−34 J⋅s6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\ \text{J·s}（精確值） 由於 EnE_n 與 n2n^2 成正比，能階隨 nn 增大而彼此分開：E2=4E1E_2 = 4E_1、E3=9E1E_3 = 9E_1，依此類推。縮窄位能井或降低質量會將每一能階推得更高。 計算範例 一個電子（m=9.109×10−31 kgm = 9.109 \times 10^{-31}\ \text{kg}）被侷限於長度 L=1 nm=1×10−9 mL = 1\ \text{nm} = 1 \times 10^{-9}\ \text{m} 的位能井中，處於基態 n = 1。 步驟 1 — 能量： E1=(1)2(6.626×10−34)28(9.109×10−31)(1×10−9)2≈6.025×10−20 J≈0.376 eVE_1 = \frac{(1)^2 (6.626 \times 10^{-34})^2}{8 (9.109 \times 10^{-31})(1 \times 10^{-9})^2} \approx 6.025 \times 10^{-20}\ \text{J} \approx 0.376\ \text{eV}E1=8(9.109×10−31)(1×10−9)2(1)2(6.626×10−34)2≈6.025×10−20 J≈0.376 eV 步驟 2 — 波長： λ1=2Ln=2(1×10−9)1=2×10−9 m=2 nm\lambda_1 = \frac{2L}{n} = \frac{2 (1 \times 10^{-9})}{1} = 2 \times 10^{-9}\ \text{m} = 2\ \text{nm}λ1=n2L=12(1×10−9)=2×10−9 m=2 nm 這個單一的半波長橫跨位能井的整個寬度，並在每一壁皆有節點。在計算器中輸入這些數值即可重現此結果。 能階一覽 量子數 nn相對於基態的能量位能井中的半波長數1E1E_1124E14E_1239E19E_13416E116E_14 真實世界的關聯 儘管經過理想化，一維無限位能井在電子被侷限於小區域時，能給出出奇良好的估計。它可預測共軛分子染料的顏色趨勢、量子點與奈米晶體可調的吸收，以及電子在狹窄半導體位能井中的能階間距。作為教學工具，它引入了量子化、零點能以及邊界條件的核心作用。 限制：理想化的壁 本模型假設無限高的壁與一個完美的一維區域，因此粒子被嚴格侷限且絕不穿隧而出。真實的位能井深度有限，會允許波函數有些許滲漏，並使能量略微降低。對於初步估計以及理解侷限的物理而言，無限深方形位能井依舊是標準的起點。 常見問題（FAQ）什麼是一維無限位能井模型？一維無限位能井（或稱無限深方形位能井）是量子力學的一個基礎模型。一個粒子被侷限於長度為 L 的一維區域中，其壁高到使粒子永遠無法逃脫。針對此情形求解薛丁格方程式可知，粒子的能量不能是任意值：只允許一階梯式的離散數值 Eₙ = n²h² / (8mL²)，其中 n 為正整數、h 為普朗克常數、m 為質量。此模型簡單到可精確求解，卻捕捉了「侷限導致能量量子化」這項量子力學的本質特徵。 能階的公式是什麼？允許的能量為 Eₙ = n²h² / (8mL²)，其中 n = 1、2、3、… 為量子數，h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s 為普朗克常數，m 為粒子質量，L 為位能井的寬度。由於能量與 n² 成正比，能階隨 n 增大而彼此分開：E₂ = 4E₁、E₃ = 9E₁，依此類推。對應的駐波具有德布羅意波長 λ = 2L / n，恰好在兩壁之間容納 n 個半波長。 為什麼能量是量子化的？波函數必須在位能井的兩壁皆為零，因為粒子絕不可能出現在位能井之外。這個邊界條件與兩端固定的振動弦完全相同：只有恰好在長度 L 中容納整數個半波長的駐波才被允許。每一個允許的波對應於一個特定的動量，進而對應於一個特定的能量。禁止所有介於其間的波長，正是迫使能量落在離散階梯上而非連續範圍上的原因。 這個模型用在哪裡？儘管簡單，一維無限位能井對於電子被侷限於小區域的真實系統，能給出有用的估計。它可模擬共軛分子染料的顏色、量子點與奈米晶體的吸收，以及電子在狹窄半導體位能井中的行為。它也是用來教授量子化、零點能以及邊界條件在量子力學中所扮演角色的標準首例。 推薦的下一個 德布羅意波長計算機 利用 λ = h/(m·v) 由粒子的質量與速度計算德布羅意波長。輸入以公斤為單位的質量及以公尺每秒為單位的速度，即可得到物質波波長與動量。 深入了解海森堡測不準原理計算器 依據海森堡測不準原理計算最小動量與速度的不確定量。輸入位置不確定量 Δx 與粒子質量，即可由 Δx·Δp ≥ ħ/2 求得 Δp 與 Δv。 深入了解波耳模型計算器 使用波耳模型計算類氫原子的能量、軌道半徑與電子速率。輸入主量子數 n 與原子序 Z，即可求得 E_n、r_n 與 v_n。 深入了解 200+ 計算機 · 10 種語言 · 完全免費 更多近代物理 一維無限位能井計算器光子能量計算機光電效應計算機波耳模型計算器長度收縮計算器相對論能量計算器 +11 more Show less 相對論動量計算器相對論速度合成計算器相對論都卜勒效應計算器重力紅移計算器重力時間膨脹計算器時間膨脹計算機核結合能計算器海森堡測不準原理計算器康普頓散射計算器德布羅意波長計算機質能等價計算機 其他物理計算機 運動學 牛頓第二運動定律計算機（F = ma）拋體運動：由射程與角度反推初速拋體運動：由最大高度與射程反推初速與角度拋體運動：擊中目標的發射角度拋體運動計算機斜面上的拋體運動力學 功率重量比計算機功與功率計算機由功率求力矩計算機向心力計算機自由落體計算機扭矩計算機角動量計算機弦上波速計算機虎克定律計算機阻力計算機軌道週期計算機浮力計算機逃逸速度計算機動量與衝量計算機動壓計算機斜面計算機旋轉運動學計算機終端速度計算機都卜勒效應計算機單擺計算機楊氏模量計算機萬有引力計算器運動學方程式計算機道路超高角計算機雷諾數計算機滾動運動能量計算機摩擦力計算機質量密度計算機靜水壓力計算機壓力計算機聲速計算機轉動動能計算機轉動慣量計算機能量 比熱容計算機卡諾效率計算機史蒂芬—波茲曼定律計算機均方根速率計算機重力位能計算機效率計算機動能計算機混合終態溫度計算機維恩位移定律計算機潛熱計算機熱傳導計算機熱膨脹計算機電磁學 555 計時器無穩態計算器分壓電路計算天線長度計算器功率因數校正計算器司乃耳定律計算機平行板電容計算機有效值、峰值與峰對峰電壓計算器串聯與並聯電阻計算串聯與並聯電容計算波長與頻率計算機庫侖定律計算機電功率計算機電位計算機電容抗計算器電容器電荷與儲能計算電感抗計算器電感器串並聯計算器電感器儲能計算磁力計算機導線電阻計算器導線磁場計算機歐姆定律計算機薄透鏡計算機螺線管磁場計算機鏡片製造者方程式計算機變壓器匝數比計算LC 諧振頻率計算LED 串聯電阻計算器RC 時間常數計算RC 濾波器截止頻率計算器RLC 阻抗計算器RLC 品質因數與頻寬計算器天文學 史瓦西半徑計算器光行時間計算器表面重力計算器哈伯定律計算器恆星光度計算器洛希極限計算器紅移轉速度計算器望遠鏡放大率計算器視角計算器視差距離計算器距離模數計算器會合週期計算器所有工具 拍頻計算機駐波諧波計算機 這個計算機對您有幫助嗎？ 有幫助 需要改進 需要改進 我們可以如何改進這個計算機？ 送出回饋 由 OneCalc 提供 ↗
最後更新：2026-06-16 一維無限位能井 一維無限位能井，也稱為無限深方形位能井，是量子力學中最早可被精確求解的問題之一。一個粒子被高到永遠無法逃脫的壁囚禁在長度為 LL 的一維區域中。在此約束下求解薛丁格方程式可揭示，粒子的能量並非可自由取任何值——它被限制在一階梯式的離散能階上。 本計算器接受量子數 nn、粒子質量 mm 與位能井寬度 LL，並回傳該能階的能量 EnE_n，以及對應駐波的德布羅意波長 λn\lambda_n。 模型原理 由於粒子絕不可能出現在位能井之外，其波函數必須在兩壁皆降為零。這個邊界條件與兩端固定的弦完全相同：只有恰好在長度 LL 中容納整數個半波長的駐波才能存留。每一個允許的駐波攜帶一個確定的動量，進而對應一個確定的能量。其他所有波長皆被禁止，這正是能量呈現量子化的原因。 最低能階 n = 1 為基態。它具有非零的能量——粒子永遠無法完全靜止——這是零點能最簡單的例證。 公式 物理量符號定義能階EnE_nEn=n2h28mL2E_n = \dfrac{n^2 h^2}{8 m L^2}量子數nnn=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dots德布羅意波長λn\lambda_nλn=2Ln\lambda_n = \dfrac{2L}{n}普朗克常數hh6.626 070 15×10−34 J⋅s6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\ \text{J·s}（精確值） 由於 EnE_n 與 n2n^2 成正比，能階隨 nn 增大而彼此分開：E2=4E1E_2 = 4E_1、E3=9E1E_3 = 9E_1，依此類推。縮窄位能井或降低質量會將每一能階推得更高。 計算範例 一個電子（m=9.109×10−31 kgm = 9.109 \times 10^{-31}\ \text{kg}）被侷限於長度 L=1 nm=1×10−9 mL = 1\ \text{nm} = 1 \times 10^{-9}\ \text{m} 的位能井中，處於基態 n = 1。 步驟 1 — 能量： E1=(1)2(6.626×10−34)28(9.109×10−31)(1×10−9)2≈6.025×10−20 J≈0.376 eVE_1 = \frac{(1)^2 (6.626 \times 10^{-34})^2}{8 (9.109 \times 10^{-31})(1 \times 10^{-9})^2} \approx 6.025 \times 10^{-20}\ \text{J} \approx 0.376\ \text{eV}E1=8(9.109×10−31)(1×10−9)2(1)2(6.626×10−34)2≈6.025×10−20 J≈0.376 eV 步驟 2 — 波長： λ1=2Ln=2(1×10−9)1=2×10−9 m=2 nm\lambda_1 = \frac{2L}{n} = \frac{2 (1 \times 10^{-9})}{1} = 2 \times 10^{-9}\ \text{m} = 2\ \text{nm}λ1=n2L=12(1×10−9)=2×10−9 m=2 nm 這個單一的半波長橫跨位能井的整個寬度，並在每一壁皆有節點。在計算器中輸入這些數值即可重現此結果。 能階一覽 量子數 nn相對於基態的能量位能井中的半波長數1E1E_1124E14E_1239E19E_13416E116E_14 真實世界的關聯 儘管經過理想化，一維無限位能井在電子被侷限於小區域時，能給出出奇良好的估計。它可預測共軛分子染料的顏色趨勢、量子點與奈米晶體可調的吸收，以及電子在狹窄半導體位能井中的能階間距。作為教學工具，它引入了量子化、零點能以及邊界條件的核心作用。 限制：理想化的壁 本模型假設無限高的壁與一個完美的一維區域，因此粒子被嚴格侷限且絕不穿隧而出。真實的位能井深度有限，會允許波函數有些許滲漏，並使能量略微降低。對於初步估計以及理解侷限的物理而言，無限深方形位能井依舊是標準的起點。 常見問題（FAQ）什麼是一維無限位能井模型？一維無限位能井（或稱無限深方形位能井）是量子力學的一個基礎模型。一個粒子被侷限於長度為 L 的一維區域中，其壁高到使粒子永遠無法逃脫。針對此情形求解薛丁格方程式可知，粒子的能量不能是任意值：只允許一階梯式的離散數值 Eₙ = n²h² / (8mL²)，其中 n 為正整數、h 為普朗克常數、m 為質量。此模型簡單到可精確求解，卻捕捉了「侷限導致能量量子化」這項量子力學的本質特徵。 能階的公式是什麼？允許的能量為 Eₙ = n²h² / (8mL²)，其中 n = 1、2、3、… 為量子數，h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s 為普朗克常數，m 為粒子質量，L 為位能井的寬度。由於能量與 n² 成正比，能階隨 n 增大而彼此分開：E₂ = 4E₁、E₃ = 9E₁，依此類推。對應的駐波具有德布羅意波長 λ = 2L / n，恰好在兩壁之間容納 n 個半波長。 為什麼能量是量子化的？波函數必須在位能井的兩壁皆為零，因為粒子絕不可能出現在位能井之外。這個邊界條件與兩端固定的振動弦完全相同：只有恰好在長度 L 中容納整數個半波長的駐波才被允許。每一個允許的波對應於一個特定的動量，進而對應於一個特定的能量。禁止所有介於其間的波長，正是迫使能量落在離散階梯上而非連續範圍上的原因。 這個模型用在哪裡？儘管簡單，一維無限位能井對於電子被侷限於小區域的真實系統，能給出有用的估計。它可模擬共軛分子染料的顏色、量子點與奈米晶體的吸收，以及電子在狹窄半導體位能井中的行為。它也是用來教授量子化、零點能以及邊界條件在量子力學中所扮演角色的標準首例。
