最後更新：2026-06-15

RC 時間常數

當電阻與電容器串聯時，電容器會沿著平滑的指數曲線充放電。這條曲線的快慢由單一數值決定，即時間常數 $\tau = R \cdot C$。電阻 $R$ 以歐姆計、電容值 $C$ 以法拉計，兩者乘積的單位為秒。

本工具可求解時間常數、電阻或電容值，並一併回報實用的穩定時間與半衰期。

時間常數的意義

經過一個時間常數後，充電中的電容器已達到電源電壓的 $63.2\%$，放電中的則降至 $36.8\%$。其後每經過一個時間常數，都填補剩餘差距的相同比例，因此趨近最終值的過程是指數型而非線性。

經過時間	充電至
$1\tau$	63.2 %
$2\tau$	86.5 %
$3\tau$	95.0 %
$4\tau$	98.2 %
$5\tau$	99.3 %

依慣例，電容器在 $5\tau$ 後即視為充滿，本工具將此值回報為穩定時間。

公式

$$\tau = R \cdot C \qquad t_{1/2} = \tau \ln 2 \approx 0.693\,\tau$$

半衰期 $t_{1/2}$ 是電壓變化一半所需的時間。將定義式重新整理，另外兩種求解模式則得 $R = \tau / C$ 與 $C = \tau / R$。

計算範例

一個 $10\ \text{k}\Omega$ 電阻為 $100\ \mu\text{F}$ 電容器充電，時間常數為：

$$\begin{aligned} \tau &= R \cdot C \\ &= 10\,000 \times 100 \times 10^{-6} \\ &= 1\ \text{s} \end{aligned}$$

因此電容器在 1 秒內達到電源電壓的 63.2 %，並在 5 秒後大致充滿。其半衰期為 $0.693 \times 1 = 0.693\ \text{s}$。

時間常數與濾波器截止頻率

同一組電阻與電容也構成一階濾波器，其截止頻率與時間常數的關係為 $f = 1/(2\pi\tau)$。時間常數越大，截止頻率越低，因此 $R$ 與 $C$ 的選取同時決定了電路對輸入跳變的反應速度，以及它通過或阻擋的頻率。

限制

$\tau = R\cdot C$ 的結果假設單一電阻搭配單一理想電容器、無漏電，且電源的內阻可忽略。含多個電阻或電容的真實電路須先合併為等效的 $R$ 與 $C$；電容漏電與容差，以及任何汲取電流的負載，都會使實際時序偏離理想值。

常見問題（FAQ）

RC 時間常數是什麼

電阻–電容電路的時間常數為 τ = R·C，其中 R 是以歐姆為單位的電阻，C 是以法拉為單位的電容值；兩者乘積的單位是秒。它決定電容器充放電的快慢：經過一個時間常數後，充電時電容器達到最終電壓的 63.2 %，放電時則降至 36.8 %。10 kΩ 電阻搭配 100 µF 電容，τ = 10 000 × 100×10⁻⁶ = 1 s。

電容器充滿電要多久

電容器在有限時間內永遠無法達到 100 %，但通常在約五個時間常數（5τ）、達到電源電壓的 99.3 % 時即視為充滿。1τ 後為 63.2 %，2τ 後為 86.5 %，3τ 後為 95.0 %，4τ 後為 98.2 %，5τ 後為 99.3 %。本工具會在時間常數之外同時回報 5τ 的穩定時間。

RC 電路的半衰期是什麼

半衰期是電容器電壓變化一半所需的時間——放電時降至 50 %，充電時則填補剩餘差距的一半。其值為 t½ = τ·ln2 ≈ 0.693·τ，略小於一個時間常數。當 τ = 1 s 時，半衰期約為 0.693 s。

時間常數與濾波器截止頻率有何關係

RC 電路同時也是一階濾波器，其截止頻率為 f = 1/(2π·τ) = 1/(2π·R·C)。時間常數越大，截止頻率越低。當 τ = 1 ms 時，截止頻率約為 159 Hz。因此同一組 R 與 C 同時描述了暫態響應（透過 τ）與頻率響應（透過 f）。