最後更新：2026-06-14

單擺計算機

單擺是在重力作用下，懸於輕繩或輕桿上擺動的質量。對於小角度擺動，完成一次完整來回循環所需的時間——週期——僅取決於擺長與重力強度：$T = 2\pi\sqrt{L/g}$。伽利略最早注意到週期幾乎與擺動幅度無關，這項觀察使單擺成為三個世紀以來精確時鐘的核心。

本計算機根據擺長與重力求出週期與頻率，或在另一模式下，由量得的週期反推可產生該週期的擺長。

為何擺長才是關鍵

週期隨擺長的平方根增長。擺長變為四倍只會使週期加倍，因此單擺要擺得慢，長度就得出乎意料地長。約一公尺長的單擺在地球上每次完整擺動約需兩秒——這正是老式落地鐘所用「秒擺」的基礎。在小角度範圍內，擺錘的質量與擺動幅度皆不改變週期，這正是單擺如此可靠計時的原因。

公式

物理量	符號	意義
週期	$T$	一次完整擺動的時間，$T = 2\pi\sqrt{L/g}$
擺長	$L$	由支點到擺錘中心的距離
重力加速度	$g$	當地的重力加速度
頻率	$f$	每秒擺動次數，$f = 1/T$

由於重力出現在公式中，同一單擺在他處的擺速也會不同：在月球上，$g$ 約為 1.62 m/s²，一公尺長的單擺擺得慢得多，週期接近 4.9 秒。

計算範例

一單擺長 1 公尺，置於地球上，$g = 9.80665$ m/s²。其週期為：

$$\begin{aligned} T &= 2\pi\sqrt{L/g} \\ &= 2\pi\sqrt{1 / 9.80665} \\ &= 2\pi \times 0.3193 \\ &= 2.006\ \text{s} \end{aligned}$$

頻率為 $f = 1/T = 0.499$ Hz，每次擺動略短於一秒。輸入 1 m 的擺長即可重現此結果。若要反向求解——譬如你測得某單擺恰為 2 秒，想知道其擺長——切換至「由週期求」，計算機會回傳 $L = g \cdot (T/2\pi)^2 \approx 0.994$ m。

小角度假設

簡潔的公式 $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ 是一項近似，當擺動振幅很小、約 15° 以下時成立。在此範圍內，回復力幾乎與位移成正比，這正是簡諧運動的條件。擺動較大時，週期會略為延長——20° 時約增加 1%——因為真實的回復力增長得比位移慢。大振幅的精確結果需要橢圓積分，但對於時鐘、節拍器與大多數實驗室單擺而言，小角度公式的準確度已綽綽有餘。

限制

此模型將繩視為無質量、擺錘視為一質點，忽略空氣阻力與支點摩擦，並假設重力場恆定。具有重桿或延展擺錘的真實單擺屬於物理擺，其週期取決於轉動慣量與到質心的距離，而非單一擺長。

常見問題（FAQ）

單擺週期的公式為何？

對於小角度擺動的單擺，週期——即完成一次來回擺動所需的時間——為 T = 2π√(L/g)，其中 L 是由支點到擺錘中心的擺長，g 是當地的重力加速度。頻率，即每秒擺動的次數，是其倒數：f = 1/T。

擺長如何影響週期？

週期隨擺長的平方根增長，因此要使週期加倍，必須將擺長變為四倍。1 公尺長的單擺在地球上週期約為 2.0 秒，這正是「秒擺」——每次擺動恰好滴答一秒——略短於一公尺的原因。將本計算機切換至「由週期求」即可求出任何目標週期所對應的精確擺長。

為何角度不出現在公式中？

公式 T = 2π√(L/g) 是小角度近似：當擺動振幅很小（約 15° 以下）、回復力幾乎與位移成正比時成立。擺動較大時，週期會略為增加——20° 時約增加 1%，更大角度時增加更多——精確週期需要橢圓積分而非此簡單算式。

擺錘的質量重要嗎？

不重要。單擺的週期僅取決於擺長與當地重力，與擺錘的質量無關。重擺與輕擺若擺長相同便會同步擺動，因為重力使所有質量同等加速——這也是不同質量的物體會一起落下的原因。唯有當空氣阻力或摩擦力顯著時，質量才會產生影響。