最後更新：2026-06-15

終端速度

將物體丟入空氣中，它不會一直加速。隨著下落速度增加，空氣阻力也增大，直到恰好抵消重力；從此，物體以穩定的速度下落，這個速度稱為終端速度。這就是為什麼跳傘員以大致恆定的速率下落、冰雹不會以致命速度抵達地面，以及降落傘能夠發揮作用的原因。本計算機根據物體的質量、正面積、阻力係數和下落流體的密度計算終端速度。

公式的推導

在高速下，阻力與速度的平方成正比：$F_d = \tfrac{1}{2}\rho v^2 C_d A$。物體在阻力等於重力 $mg$ 時達到終端速度。令兩者相等並求解 $v$，即可得到下方的公式——這是淨力（因此加速度）為零的唯一速度。

公式

物理量	符號	意義
終端速度	$v_t$	$v_t = \sqrt{\dfrac{2mg}{\rho\,C_d A}}$
質量	$m$	下落物體的質量
重力加速度	$g$	重力加速度
流體密度	$\rho$	流體密度（空氣 ≈ 1.225 kg/m³）
阻力係數	$C_d$	形狀因子（球體 ≈ 0.47）
截面積	$A$	正面截面積

所有阻礙下落的量——密度、阻力係數和面積——都在分母的平方根下，而質量在分子上。由於平方根的關係，某個量必須改變四倍才能使終端速度加倍或減半。

計算範例

設一名 75 kg 的跳傘員展開身體，正面積 0.7 m²，阻力係數約 1.0，在海平面空氣（$\rho = 1.225\ \text{kg/m}^3$）中下落：

$$\begin{aligned} v_t &= \sqrt{\frac{2mg}{\rho\,C_d A}} \\ &= \sqrt{\frac{2 \times 75 \times 9.80665}{1.225 \times 1.0 \times 0.7}} \\ &\approx 41\ \text{m/s} \approx 149\ \text{km/h} \end{aligned}$$

實際跳傘員通常下落稍快，約 50–55 m/s，因為其有效阻力係數和姿勢有所不同。打開降落傘後，面積和阻力係數大幅增加，終端速度降至可存活的每秒幾公尺。

影響終端速度的因素

形狀相同時，較重的物體下落較快，因為質量在分子位置。任何增加阻力的因素都會降低終端速度：更大的面積、更鈍的形狀（較大的 $C_d$）或較稠的流體。這解釋了空氣中的羽毛與鐵錘——羽毛巨大的面積質量比使其終端速度極小——以及為什麼兩者在無空氣的月球上同時落地。

限制說明

此公式假設二次（高速）阻力，阻力係數和流體密度均為常數，對日常物體在空氣中下落是良好的模型，但不適用於極小或極慢的物體（此時阻力與速度成正比而非與速度平方成正比）。公式給出最終穩定速度，而非物體達到該速度所需的時間。實際阻力係數也會隨速度和方向變化，且空氣密度隨高度降低，因此高空的終端速度高於此海平面估算值。

常見問題（FAQ）

終端速度的計算公式是什麼？

當向上的阻力等於向下的重力時，物體達到終端速度。令二次阻力 ½·ρ·v²·C_d·A 等於 m·g 並求解 v，即可得到 v = √(2mg / (ρ·C_d·A))，其中 m 為質量，g 為重力加速度，ρ 為流體密度，C_d 為阻力係數，A 為正面積。此速度下淨力為零，物體停止加速，以恆定速率下落。

哪些因素影響終端速度的大小？

終端速度與質量的平方根成正比，因此形狀相同的較重物體下落更快。截面積、阻力係數或流體密度增加時，終端速度降低——這正是降落傘的工作原理：它大幅增加面積和阻力係數，將終端速度降至每秒幾公尺的安全值。由於所有量都在平方根下，需要將某個因子改變四倍才能使速度加倍或減半。

跳傘員下落的速度有多快？

展開身體（腹部朝下）的跳傘員正面積較大，下落速度約為 50–55 m/s，即約 180–200 km/h。頭朝下、手臂收緊的姿勢可減小面積和阻力，終端速度可超過 90 m/s。開傘後，面積和阻力係數大幅增加，終端速度降至約 5 m/s，足以安全著陸。確切數值取決於跳傘員的體重、姿勢和高度（高空空氣較稀薄）。

較重的物體下落一定較快嗎？

在真空中不是——所有物體以相同速率下落。在空氣中，終端速度確實與質量有關，但僅透過質量與阻力的比值。羽毛與鐵錘的終端速度差異極大，因為羽毛大面積與微小質量的比例使阻力幾乎立即占主導地位。

只有當兩個物體具有相同的質量與（面積×阻力）比值時，它們才具有相同的終端速度。這就是為什麼揉成球的紙比攤開的紙下落更快，儘管它們的質量相同。