最後更新：2026-06-15

時間膨脹

時間膨脹是愛因斯坦狹義相對論的推論：相對於靜止觀測者運動的時鐘，其走動速率比靜止時鐘慢。速度越快，走慢的程度越大。在日常速度下，此效應微不足道，但當速度接近光速 $c \approx 3 \times 10^8\ \text{m/s}$ 時，效應變得極為顯著。

本計算機接受原時 $t_0$（運動參考系中的時間）與速度 $v$，回傳勞侖茲因子 $\gamma$ 及靜止觀測者所測量的膨脹時間 $t$。

時間膨脹的原理

想像一艘快速飛行的太空船上有一個時鐘：光在兩面鏡子之間往返，每個來回算一次滴答。從地面上看，光在每次滴答之間走了一段較長的斜線路徑，因此滴答之間的間隔更長——時鐘似乎走慢了。太空船速度越快，斜線越長，時間伸展得越多。

這一效應並非機械故障。生物過程、原子振動和放射性衰變速率都受到同等影響。太空船上的旅行者不會感覺到任何異常——從他們的角度看，是地面上的時鐘走慢了。

公式

量	符號	定義
勞侖茲因子	$\gamma$	$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$
原時	$t_0$	運動參考系中經過的時間
膨脹時間	$t$	靜止觀測者所測量的時間
關係		$t = \gamma \cdot t_0$
光速	$c$	$299\,792\,458\ \text{m/s}$（精確值）

當 $v \to 0$ 時，$\gamma \to 1$，無時間膨脹。當 $v \to c$ 時，$\gamma \to \infty$，靜止觀測者眼中的運動時鐘趨於靜止。

計算範例

太空船以 $v = 0.8c = 239\,833\,966\ \text{m/s}$ 飛行，乘員經歷的旅程時間為 $t_0 = 10\ \text{s}$。

第一步——勞侖茲因子：

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0.8)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0.64}} = \frac{1}{\sqrt{0.36}} = \frac{1}{0.6} \approx 1.6667$$

第二步——膨脹時間：

$$t = \gamma \cdot t_0 = 1.6667 \times 10 \approx 16.67\ \text{s}$$

乘員老化了 10 秒，而地面觀測者測量到的時間為 16.67 秒。在計算機中輸入這些數值即可重現結果。

不同速度下的勞侖茲因子

速度（光速的分數）	$\gamma$
0.1c	1.005
0.5c	1.155
0.8c	1.667
0.9c	2.294
0.99c	7.089
0.999c	22.37

實驗驗證

時間膨脹並非純粹的理論預言。1971 年的 Hafele–Keating 實驗將原子鐘搭載商業飛機環球飛行，確認機上時鐘比地面時鐘少走了時間，與狹義和廣義相對論的預測完全一致。GPS 衛星以約 14,000 km/h 運行，速度引起的時間膨脹約為 −7 µs/天；若不修正（以及反向的重力時間膨脹），GPS 定位每天將偏移數公里。

限制：本計算機僅涵蓋狹義相對論

狹義相對論時間膨脹適用於慣性（非加速）參考系。重力（廣義相對論）會帶來額外效應：處於較強重力場中的時鐘走得較慢。對於大多數粒子物理和運動學問題，本計算機的公式已足夠；對於精密的軌道或宇宙學計算，則需同時考慮兩種效應。

常見問題（FAQ）

什麼是時間膨脹？

時間膨脹是愛因斯坦狹義相對論的預言：相對於靜止觀測者運動的時鐘，其走動速率比靜止時鐘慢。速度越快，時鐘走得越慢。這不是幻覺或機械效應，而是時空的基本性質。例如，GPS 衛星因速度（狹義相對論）與重力（廣義相對論）的時間膨脹效應，若不加以修正，每天定位誤差將達數公里。

什麼是勞侖茲因子？

勞侖茲因子 γ = 1 / √(1 − v²/c²) 量化了給定速度下時間、長度及相對論質量的變化幅度。v = 0 時 γ = 1，無相對論效應；v = 0.5c 時 γ ≈ 1.155；v = 0.9c 時 γ ≈ 2.294；v = 0.99c 時 γ ≈ 7.089。勞侖茲因子在整個狹義相對論中都會出現：時間間隔乘以 γ（時間膨脹），長度除以 γ（長度收縮），相對論動量為 p = γmv。

日常速度下也會有時間膨脹效應嗎？

有，但效應極其微小。乘坐商業航班以 900 km/h（250 m/s）飛行的乘客，v/c ≈ 8 × 10⁻⁷，γ − 1 ≈ 3 × 10⁻¹³。飛行 8 小時後，乘客的時鐘僅落後約 0.9 奈秒。低地球軌道衛星以 7 800 m/s 運行，γ − 1 ≈ 3.4 × 10⁻¹⁰，每天時鐘慢約 7 微秒。這些微小差異是真實且可測量的，現代原子鐘已能確認。

什麼是孿生子悖論？

孿生子悖論設想一對孿生子：一人留在地球，另一人以接近光速旅行後返回。狹義相對論預測旅行的那位孿生子老化較少——這與時間膨脹一致。「悖論」似乎在於：從旅行者的參考系看，地球上的孿生子才是在運動，理應老化更少。解決之道在於：兩種情況並不對稱——旅行者必須加速以折返，打破了對稱性，旅行者確實老化較少。這已由 1971 年的 Hafele–Keating 實驗（在飛機上攜帶原子鐘飛行）獲得實驗證實。