最後更新：2026-06-15

弦上的波速

撥動一根吉他弦，波在弦上來回傳播的速度遠超高速公路上的汽車。波速取決於兩件事：弦的張緊程度以及每單位長度的質量。本計算機由這兩個量求出波速，並針對兩端固定的弦進一步給出決定其音樂音高的基音頻率。

公式的推導

繃緊的弦在受到位移時，張力將其拉回（回復力）；同時弦的質量使其難以被加速（慣性）。波速在這兩者之間取得平衡：張力越大，回復力越強，波速越快；單位長度質量越大，慣性越大，波速越慢。由運動方程推導得 $v = \sqrt{T/\mu}$，張力 $T$ 在分子，線密度 $\mu$ 在分母，兩者均在根號之下。

公式

物理量	符號	意義
波速	$v$	$v = \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}$
基音頻率	$f_1$	$f_1 = \dfrac{v}{2L}$
張力	$T$	對弦施加的拉力
線密度	$\mu$	每單位長度的質量，$m/L$
弦長	$L$	振動長度

波速只取決於弦本身的性質，與波的頻率和振幅無關。

計算範例

一根吉他弦，張力 $T = 80\ \text{N}$，線密度 $\mu = 0.001\ \text{kg/m}$，振動弦長 $L = 0.65\ \text{m}$：

$$\begin{aligned} v &= \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{80}{0.001}} \approx 282.8\ \text{m/s} \\ f_1 &= \frac{v}{2L} = \frac{282.8}{2 \times 0.65} \approx 217.6\ \text{Hz} \end{aligned}$$

這接近 A3 音（220 Hz），正是此類弦設計所對應的音高。

張力、弦長與音高

由於 $f_1 = v/(2L) = \tfrac{1}{2L}\sqrt{T/\mu}$，演奏者有三種方式控制音高。增大張力可提高波速進而升高音高——但音高只隨張力的平方根上升，因此升高一個八度（頻率加倍）需要將張力增大約四倍。按壓品格縮短有效弦長 $L$，可直接升高音高。換用較粗較重的弦可降低音高——這就是吉他和鋼琴低音弦粗而纏繞的原因。

適用範圍與限制

本公式將弦視為完全柔韌、均勻且細，且張力沿弦長度均勻分布。實際弦具有一定的抗彎剛度，會使高次泛音的頻率略微升高（產生「偏高」現象）；振動弦的張力也可能隨振幅略有變化。基音頻率公式假設弦在兩端固定；不同的邊界條件會產生不同的泛音模式。

常見問題（FAQ）

弦上的波速公式是什麼？

橫波在弦上的波速為 v = √(T/μ)，其中 T 是張力，μ 是線密度（每單位長度的質量）。波速隨張力的平方根增大，隨線密度的平方根減小——繃緊弦會加速波傳播，而更粗、更重的弦則使波速降低。注意波速與波的頻率或振幅無關。

什麼是線密度？

線密度 μ 是弦的總質量除以其長度，單位為 kg/m。對均勻弦可用稱重法求得：一段 1 公尺、重 1 克的弦，其線密度為 μ = 0.001 kg/m。線密度反映了弦每單位長度的質量，也正是它決定了對波動的慣性阻力。

如何求基音頻率？

兩端固定的弦振動時，半波長恰好等於弦長，因此最低（基音）頻率為 f₁ = v/(2L)，其中 v 是波速，L 是弦長。高次泛音為整數倍：2f₁、3f₁ 等。這就解釋了為什麼較短的弦或張力較大的弦發出較高的音。

為什麼調音時改變了弦的音高？

調音改變的是張力。由於 v = √(T/μ)，f₁ = v/(2L)，音高隨張力的平方根上升：將音調升高一個八度（頻率加倍）需要將張力增加約四倍。演奏者也可以透過縮短振動弦長（按品格）或換用不同線密度的弦來改變音高。