حاسبة نموذج بور

عدد الكم الرئيسي	1
العدد الذري	1

عدد الكم الرئيسي

العدد الذري

آخر تحديث: 2026-06-16

نموذج بور

يصف نموذج بور ذرة شبيهة بالهيدروجين على أنها إلكترون وحيد يدور حول نواة موجبة في أحد مجموعة من المدارات الدائرية المسموح بها. ولكل مدار طاقة ثابتة، ولا يبعث الإلكترون فوتونًا أو يمتصه إلا عند القفز بين المدارات. وقد أدخله نيلز بور عام 1913، وكان أول نموذج يفسّر الخطوط الطيفية المنفصلة للهيدروجين.

تأخذ هذه الحاسبة عدد الكم الرئيسي $n$ والعدد الذري $Z$ ، وتعيد الطاقة $E_n$ ونصف قطر المدار $r_n$ وسرعة الإلكترون $v_n$ .

كيف يعمل النموذج

افترض بور أن العزم الزاوي للإلكترون مكمّى، وهو ما يقصره على مدارات محددة. ولكل مدار مسموح به نصف قطر وسرعة وطاقة محددة. ولأن الطاقات منفصلة، فإن الفوتون المنبعث في انتقال يحمل بالضبط فرق الطاقة بين مستويين — منتجًا الخطوط الحادة المرئية في الأطياف الذرية بدلًا من قوس قزح متصل.

الصيغ

الكمية	الرمز	التعريف
مستوى الطاقة	$E_n$	$E_n = -13.6057\ \text{eV}\cdot \dfrac{Z^2}{n^2}$
نصف قطر المدار	$r_n$	$r_n = a_0\,\dfrac{n^2}{Z},\quad a_0 = 5.292\times10^{-11}\ \text{m}$
سرعة الإلكترون	$v_n$	$v_n = \alpha c\,\dfrac{Z}{n},\quad \alpha c \approx 2.188\times10^{6}\ \text{m/s}$

هنا $n = 1, 2, 3, \dots$ عدد الكم الرئيسي، و $Z$ العدد الذري، و $a_0$ نصف قطر بور، و $\alpha$ ثابت البنية الدقيقة.

مثال محلول

للهيدروجين في الحالة الأرضية، n = 1 وZ = 1.

الطاقة:

E_1 = -13.6057\ \text{eV}\times\frac{1^2}{1^2} = -13.61\ \text{eV}

نصف القطر:

r_1 = a_0\times\frac{1^2}{1} = 5.292\times10^{-11}\ \text{m} = 0.0529\ \text{nm}

السرعة:

v_1 = \alpha c\times\frac{1}{1} \approx 2.188\times10^{6}\ \text{m/s}

يقع الإلكترون على بعد 0.0529 nm من البروتون، متحركًا بنحو 0.7% من سرعة الضوء، مقيدًا بطاقة 13.6 eV.

مستويات طاقة الهيدروجين

المستوى $n$	$E_n$ (eV)	$r_n$ (nm)
1	−13.61	0.053
2	−3.40	0.212
3	−1.51	0.476
4	−0.85	0.847
∞	0	∞

تتزاحم المستويات مع كبر $n$ وتتقارب نحو الصفر، أي عتبة التأين. والفجوة 13.6 eV بين الحالة الأرضية (n = 1) والإلكترون الحر هي طاقة تأين الهيدروجين.

الأهمية في الواقع

يفسّر نموذج بور سلاسل بالمر وليمان وباشن الطيفية للهيدروجين ويعطي طاقة التأين الصحيحة. والصيغ نفسها، مع Z المناسب، تصف الأيونات أحادية الإلكترون مثل He⁺ وLi²⁺. ويبقى مدخلًا معياريًا إلى البنية الذرية وإلى فكرة الطاقة المكمّاة.

قيد

نموذج بور دقيق فقط للأنظمة الشبيهة بالهيدروجين (أحادية الإلكترون). ولا يعيد إنتاج أطياف الذرات متعددة الإلكترونات ولا البنية الدقيقة ولا الترابط الكيميائي، وتتعارض مداراته المحددة مع اللاارتياب الكمومي. وتستبدل ميكانيكا الكم الكاملة بالمدارات أوربيتالات، وإن بقيت صيغة بور للطاقة في الهيدروجين سليمة دون تغيير.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو نموذج بور؟

نموذج بور، الذي اقترحه نيلز بور عام 1913، يصوّر الذرة على أنها نواة موجبة صغيرة تدور حولها الإلكترونات في مسارات دائرية ثابتة، أشبه بالكواكب حول الشمس. وكانت فكرته الجديدة الأساسية أن الإلكترونات لا يمكنها إلا أن تشغل مدارات مسموحًا بها ذات طاقات مكمّاة، وأنها لا تبعث الضوء أو تمتصه إلا عند القفز بين هذه المدارات. وقد فسّر النموذج بنجاح الخطوط الطيفية للهيدروجين وأدخل عدد الكم الرئيسي n، فكان جسرًا حاسمًا بين الفيزياء الكلاسيكية وميكانيكا الكم الحديثة.

كيف تُحسب مستويات الطاقة؟

في نموذج بور تكون طاقة المستوى n لذرة شبيهة بالهيدروجين E_n = −13.6057 eV × Z²/n²، حيث Z العدد الذري وn عدد الكم الرئيسي. وللهيدروجين (Z = 1) يكون للحالة الأرضية (n = 1) E₁ = −13.6 eV، وللحالة المثارة الأولى (n = 2) E₂ = −3.40 eV، وهكذا. والطاقات سالبة لأن الإلكترون مقيد بالنواة؛ وإلكترون طاقته صفر يكون حرًا بالكاد. والطاقة اللازمة لنزع إلكترون الحالة الأرضية كليًا — 13.6 eV للهيدروجين — هي طاقة التأين.

ما هو نصف قطر بور؟

نصف قطر بور a₀ ≈ 5.29 × 10⁻¹¹ m (0.0529 nm) هو نصف قطر أصغر مدار في الهيدروجين، المقابل لـ n = 1 وZ = 1. ونصف قطر أي مدار بور آخر هو r_n = a₀ × n²/Z. وتكبر المدارات بسرعة مع n (مدار n = 2 أكبر أربع مرات من n = 1) وتتقلص مع زيادة الشحنة النووية Z، لأن جذبًا أقوى يُبقي الإلكترون أقرب. ويبقى نصف قطر بور مقياس طول معياريًا في الفيزياء الذرية اليوم.

ما هي قيود نموذج بور؟

يعمل نموذج بور جيدًا فقط للهيدروجين وغيره من الأيونات أحادية الإلكترون (الشبيهة بالهيدروجين). ولا يمكنه أن يتنبأ بدقة بأطياف الذرات متعددة الإلكترونات، ولا بالبنية الدقيقة والشدات النسبية للخطوط الطيفية، ولا بأشكال الروابط الكيميائية. كما أن تصويره للإلكترونات في مدارات دائرية محددة يتعارض مع مبدأ هايزنبرغ للاارتياب. وتستبدل ميكانيكا الكم الحديثة بالمدارات توزعات احتمالية ثلاثية الأبعاد تُسمى أوربيتالات، لكن صيغة مستويات الطاقة في نموذج بور للهيدروجين ما زالت دقيقة وتبقى أداة تعليمية قيّمة.

حاسبة نموذج بور

المدخلات

حاسبة نموذج بور

تفاصيل

تضمين هذه الآلة الحاسبة

مشاركة هذه العملية الحسابية

التالي الموصى به

حاسبة معادلة ريدبرغ

حاسبة طاقة الفوتون

حاسبة الطول الموجي لدي برولي

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

حاسبة نموذج بور

المدخلات

المدخلات

النتائج

تفاصيل

نموذج بور

كيف يعمل النموذج

الصيغ

مثال محلول

مستويات طاقة الهيدروجين

الأهمية في الواقع

قيد

الأسئلة الشائعة (FAQ)

التالي الموصى به

حاسبة معادلة ريدبرغ

حاسبة طاقة الفوتون

حاسبة الطول الموجي لدي برولي

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟