آخر تحديث: 2026-06-29

دقة الفاصلة العائمة

تخزّن الحواسيب الأعداد الحقيقية في عدد منتهٍ من البتات، فتُحفظ معظم القيم على نحو تقريبي فحسب. تعرض هذه الحاسبة دقة صِيَغ IEEE 754 الثنائية — النصفية والمفردة والمزدوجة والرباعية — بحساب إبسيلون الآلة وعدد الأرقام العشرية الموثوقة والتباعد بين الأعداد القابلة للتمثيل (الوحدة في آخر منزلة) عند قيمة تختارها. وتفسّر هذه المقادير مجتمعةً لماذا تكون حسابات الفاصلة العائمة دقيقة لكنها غير مضبوطة.

كيف يخزّن العدد العائم قيمة

يُكتب عدد IEEE 754 بإشارة ومعنويّة (الأرقام المعنوية) وأس يضربه في قوة العدد اثنين، على غرار الترميز العلمي في الأساس الثنائي. وتثبّت كل صيغة عدد بتات المعنويّة: فالدقة النصفية تخصّص لها 11 بتة، والمفردة 24، والمزدوجة 53، والرباعية 113 (يتضمّن كل عدد بتة ضمنية رائدة واحدة). وكلما زادت بتات المعنويّة دقّت الدقة.

إبسيلون الآلة

أوضح مقاييس الدقة هو إبسيلون الآلة، أي الفجوة بين 1.0 وأقرب عدد قابل للتمثيل فوقها:

$\varepsilon = 2^{-(p-1)}$

حيث $p$ عدد بتات المعنويّة. وللدقة المزدوجة يكون $\varepsilon = 2^{-52} \approx 2.22 \times 10^{-16}$. وهذا حدّ نسبي: يُخزَّن أي عدد حقيقي بخطأ نسبي لا يتجاوز $\varepsilon / 2$. ويتبع منه مباشرة العدد الموثوق للأرقام العشرية المعتدّ بها، وهو $(p-1)\log_{10} 2$، أي نحو 15.7 للدقة المزدوجة.

ULP: تباعد ينمو مع المقدار

يصف إبسيلون الآلة التباعد قرب 1.0، لكن أعداد الفاصلة العائمة ليست متساوية التباعد. فالفجوة بين قيمتين متتاليتين قابلتين للتمثيل، أي الوحدة في آخر منزلة (ULP)، تتناسب مع المقدار:

$\text{ULP}(x) = 2^{\lfloor \log_2 |x| \rfloor - (p-1)}$

فقرب العدد 1 يساوي التباعد إبسيلون الآلة، وقرب 1000 يصبح أكبر بنحو ألف مرة. ولهذا تحافظ الفاصلة العائمة على دقة نسبية ثابتة بينما تفقد الدقة المطلقة مع كبر الأعداد.

مثال محلول

لنأخذ الدقة المزدوجة والقيمة 1000. يكون الأس $\lfloor \log_2 1000 \rfloor = 9$، ومن ثم:

وأكبر خطأ تقريب قرب 1000 هو نصف ذلك، أي نحو $5.7 \times 10^{-14}$. فيمكن للعدد المزدوج التمييز بين 1000 و1000.0000000000001، لكن لا التمييز عن قيمة تختلف في الرقم المعنوي السادس عشر.

لماذا ليس 0.1 مضبوطًا

لا تستطيع الفاصلة العائمة الثنائية تمثيل سوى مجاميع قوى العدد اثنين، وليس للكسر 0.1 تمثيل ثنائي منتهٍ، تمامًا كما لا تمثيل عشري منتهٍ للثلث. ولذا يُقرَّب إلى أقرب قيمة قابلة للتمثيل، وهو سبب ألّا يساوي 0.1 + 0.2 العددَ 0.3 بالضبط في معظم اللغات. والفرق من رتبة إبسيلون الآلة وغير ضار عادةً، لكنه يتراكم عبر الحسابات الطويلة، وهو سبب تخزين المال غالبًا كأعداد صحيحة أو في نوع عشري بدلًا من عدد عائم. ولمعرفة كيفية ترميز الأعداد الصحيحة نفسها في الثنائي، انظر حساب المتمم الثنائي.