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Calculateur du modèle de Bohr

Données

Nombre quantique principal1
Numéro atomique1

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Physique

Calculateur du modèle de Bohr

Calculez l'énergie, le rayon orbital et la vitesse de l'électron pour un atome hydrogénoïde à l'aide du modèle de Bohr. Saisissez le nombre quantique principal n et le numéro atomique Z pour trouver E_n, r_n et v_n.

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Modèle de Bohr

Le modèle de Bohr décrit un atome hydrogénoïde comme un électron unique gravitant autour d'un noyau positif sur l'une d'un ensemble d'orbites circulaires permises. Chaque orbite possède une énergie fixe, et l'électron n'émet ou n'absorbe un photon qu'en sautant d'une orbite à l'autre. Introduit par Niels Bohr en 1913, il fut le premier modèle à expliquer les raies spectrales discrètes de l'hydrogène.

Ce calculateur prend le nombre quantique principal nn et le numéro atomique ZZ, et renvoie l'énergie EnE_n, le rayon de l'orbite rnr_n et la vitesse de l'électron vnv_n.

Comment fonctionne le modèle

Bohr a postulé que le moment cinétique d'un électron est quantifié, ce qui le restreint à des orbites spécifiques. Chaque orbite permise possède un rayon, une vitesse et une énergie déterminés. Comme les énergies sont discrètes, le photon émis lors d'une transition emporte exactement la différence d'énergie entre deux niveaux — produisant les raies nettes observées dans les spectres atomiques plutôt qu'un arc-en-ciel continu.

Formules

GrandeurSymboleDéfinition
Niveau d'énergieEnE_nEn=−13.6057 eV⋅Z2n2E_n = -13.6057\ \text{eV}\cdot \dfrac{Z^2}{n^2}
Rayon de l'orbiternr_nrn=a0 n2Z,a0=5.292×10−11 mr_n = a_0\,\dfrac{n^2}{Z},\quad a_0 = 5.292\times10^{-11}\ \text{m}
Vitesse de l'électronvnv_nvn=αc Zn,αc≈2.188×106 m/sv_n = \alpha c\,\dfrac{Z}{n},\quad \alpha c \approx 2.188\times10^{6}\ \text{m/s}

Ici n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \dots est le nombre quantique principal, ZZ le numéro atomique, a0a_0 le rayon de Bohr et α\alpha la constante de structure fine.

Exemple résolu

Pour l'hydrogène dans l'état fondamental, n = 1 et Z = 1.

Énergie :

E1=−13.6057 eV×1212=−13.61 eVE_1 = -13.6057\ \text{eV}\times\frac{1^2}{1^2} = -13.61\ \text{eV}

Rayon :

r1=a0×121=5.292×10−11 m=0.0529 nmr_1 = a_0\times\frac{1^2}{1} = 5.292\times10^{-11}\ \text{m} = 0.0529\ \text{nm}

Vitesse :

v1=αc×11≈2.188×106 m/sv_1 = \alpha c\times\frac{1}{1} \approx 2.188\times10^{6}\ \text{m/s}

L'électron se tient à 0,0529 nm du proton, se déplaçant à environ 0,7 % de la vitesse de la lumière, lié par 13,6 eV.

Niveaux d'énergie de l'hydrogène

Niveau nnEnE_n (eV)rnr_n (nm)
1−13,610,053
2−3,400,212
3−1,510,476
4−0,850,847
∞0∞

Les niveaux se resserrent à mesure que nn croît et convergent vers zéro, le seuil d'ionisation. L'écart de 13,6 eV entre l'état fondamental (n = 1) et l'électron libre est l'énergie d'ionisation de l'hydrogène.

Pertinence dans le monde réel

Le modèle de Bohr rend compte des séries spectrales de Balmer, Lyman et Paschen de l'hydrogène et donne la bonne énergie d'ionisation. Les mêmes formules, avec le ZZ approprié, décrivent des ions à un seul électron comme He⁺ et Li²⁺. Il demeure une introduction standard à la structure atomique et à l'idée d'énergie quantifiée.

Limite

Le modèle de Bohr n'est exact que pour les systèmes hydrogénoïdes (à un seul électron). Il ne reproduit pas les spectres des atomes polyélectroniques, la structure fine ni les liaisons chimiques, et ses orbites définies entrent en conflit avec l'incertitude quantique. La mécanique quantique complète remplace les orbites par des orbitales, bien que la formule d'énergie de Bohr pour l'hydrogène reste intacte.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu'est-ce que le modèle de Bohr ?

Le modèle de Bohr, proposé par Niels Bohr en 1913, représente un atome comme un petit noyau positif autour duquel gravitent des électrons sur des trajectoires circulaires fixes, à la manière des planètes autour du Soleil. Son idée nouvelle clé était que les électrons ne peuvent occuper que certaines orbites permises aux énergies quantifiées, et qu'ils n'émettent ou n'absorbent de la lumière qu'en sautant d'une orbite à l'autre. Le modèle a expliqué avec succès les raies spectrales de l'hydrogène et a introduit le nombre quantique principal n, en faisant un pont crucial entre la physique classique et la mécanique quantique moderne.

Comment les niveaux d'énergie sont-ils calculés ?

Dans le modèle de Bohr, l'énergie du niveau n pour un atome hydrogénoïde est E_n = −13,6057 eV × Z²/n², où Z est le numéro atomique et n le nombre quantique principal. Pour l'hydrogène (Z = 1), l'état fondamental (n = 1) a E₁ = −13,6 eV, le premier état excité (n = 2) a E₂ = −3,40 eV, et ainsi de suite. Les énergies sont négatives car l'électron est lié au noyau ; un électron d'énergie nulle est tout juste libre. L'énergie nécessaire pour retirer entièrement l'électron de l'état fondamental — 13,6 eV pour l'hydrogène — est l'énergie d'ionisation.

Qu'est-ce que le rayon de Bohr ?

Le rayon de Bohr a₀ ≈ 5,29 × 10⁻¹¹ m (0,0529 nm) est le rayon de la plus petite orbite de l'hydrogène, correspondant à n = 1 et Z = 1. Le rayon de toute autre orbite de Bohr est r_n = a₀ × n²/Z. Les orbites croissent rapidement avec n (l'orbite n = 2 est quatre fois plus grande que n = 1) et rétrécissent à mesure que la charge nucléaire Z augmente, car une attraction plus forte maintient l'électron plus près. Le rayon de Bohr demeure aujourd'hui une échelle de longueur standard en physique atomique.

Quelles sont les limites du modèle de Bohr ?

Le modèle de Bohr ne fonctionne bien que pour l'hydrogène et les autres ions à un seul électron (hydrogénoïdes). Il ne peut pas prédire avec précision les spectres des atomes polyélectroniques, la structure fine et les intensités relatives des raies spectrales, ni la forme des liaisons chimiques. Son image d'électrons sur des orbites circulaires définies entre également en conflit avec le principe d'incertitude de Heisenberg. La mécanique quantique moderne remplace les orbites par des distributions de probabilité tridimensionnelles appelées orbitales, mais la formule des niveaux d'énergie du modèle de Bohr pour l'hydrogène reste exacte et demeure un outil pédagogique précieux.

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