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Calculateur de décalage gravitationnel vers le rouge

Données

Masse1 M☉
Rayon d'émission1 R☉
Longueur d'onde émise500 nm

Généré avec OneCalc · https://onecalc.app/fr/physics/gravitational-redshift

Physique

Calculateur de décalage gravitationnel vers le rouge

Calculez le décalage gravitationnel vers le rouge de la lumière quittant un corps massif. Saisissez la masse, le rayon d'émission et la longueur d'onde émise pour trouver le décalage z, la longueur d'onde observée et le facteur de décalage 1 + z.

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nm

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Décalage gravitationnel vers le rouge

Le décalage gravitationnel vers le rouge est l'allongement de la longueur d'onde de la lumière à mesure qu'elle s'échappe d'un champ gravitationnel. Prédit par la théorie de la relativité générale d'Einstein, il est étroitement lié à la dilatation gravitationnelle du temps : la lumière émise profondément dans un puits de gravité est observée à une fréquence plus basse, et donc une longueur d'onde plus grande, par quelqu'un de lointain.

Ce calculateur prend la masse MM d'un corps, le rayon rr auquel la lumière est émise et la longueur d'onde émise λe\lambda_e, et renvoie le décalage zz, la longueur d'onde observée λo\lambda_o et le facteur de décalage 1 + z.

Comment fonctionne le décalage gravitationnel vers le rouge

Les horloges tournent plus lentement dans une gravité plus forte. Une onde émise au rayon rr oscille à un rythme fixe dans son référentiel local, mais un observateur lointain — dont l'horloge tourne plus vite — compte ces oscillations comme arrivant plus lentement. Une fréquence plus basse signifie une longueur d'onde plus grande, si bien que la lumière est décalée vers le rouge. Aucun mouvement relatif n'est en jeu ; le décalage provient entièrement de la différence de potentiel gravitationnel entre l'émission et l'observation.

L'ampleur du décalage dépend du rapport du rayon de Schwarzschild 2GM/c22GM/c^2 au rayon d'émission rr.

Formule

GrandeurSymboleDéfinition
Facteur de décalage1 + z1+z=11−2GM/rc21 + z = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 2GM/rc^2}}
Décalagezzz=11−2GM/rc2−1z = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 2GM/rc^2}} - 1
Longueur d'onde observéeλo\lambda_oλo=λe (1+z)\lambda_o = \lambda_e\,(1 + z)
Constante gravitationnelleGG6.674 30×10−11 m3 kg−1 s−26.674\,30 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}
Vitesse de la lumièrecc299 792 458 m/s299\,792\,458\ \text{m/s} (exacte)

Pour les champs faibles, où 2GM/rc2≪12GM/rc^2 \ll 1, cela se réduit à z≈GM/rc2z \approx GM/rc^2. À mesure que rr approche le rayon de Schwarzschild, le décalage croît sans limite.

Exemple résolu

De la lumière solaire à λe=500 nm\lambda_e = 500\ \text{nm} quittant la surface du Soleil : M=1.989×1030 kgM = 1.989 \times 10^{30}\ \text{kg}, r=6.9634×108 mr = 6.9634 \times 10^8\ \text{m}.

Étape 1 — Rapport de Schwarzschild :

2GMrc2≈4.24×10−6\frac{2GM}{rc^2} \approx 4.24 \times 10^{-6}

Étape 2 — Décalage :

z=11−4.24×10−6−1≈2.12×10−6z = \frac{1}{\sqrt{1 - 4.24 \times 10^{-6}}} - 1 \approx 2.12 \times 10^{-6}

Étape 3 — Longueur d'onde observée :

λo=500 nm×(1+2.12×10−6)≈500.001 nm\lambda_o = 500\ \text{nm} \times (1 + 2.12 \times 10^{-6}) \approx 500.001\ \text{nm}

Le décalage est minuscule — environ une partie sur 470 000 — mais réel, et il a été mesuré dans le spectre du Soleil. Saisissez ces valeurs dans le calculateur pour reproduire le résultat.

Décalage pour différentes intensités de champ

Objet2GM/rc22GM/rc^2Décalage zz
Surface de la Terre1.4×10−91.4 \times 10^{-9}∼7×10−10\sim 7 \times 10^{-10}
Surface du Soleil4.2×10−64.2 \times 10^{-6}∼2.1×10−6\sim 2.1 \times 10^{-6}
Surface d'une naine blanche∼10−4\sim 10^{-4}∼5×10−5\sim 5 \times 10^{-5}
Surface d'une étoile à neutrons∼0.3\sim 0.3∼0.2\sim 0.2

Pertinence dans le monde réel

Le décalage gravitationnel vers le rouge a d'abord été confirmé en laboratoire par l'expérience de Pound–Rebka en 1959, qui a mesuré un décalage de quelques parties sur 10¹⁵ sur une tour de 22 mètres. Il a depuis été détecté dans les spectres du Soleil et de naines blanches comme Sirius B, ainsi que dans des étoiles orbitant autour du trou noir au centre de la Voie lactée. La même physique sous-tend les corrections d'horloge qui maintiennent la précision du GPS.

Limite : masse statique et non tournante

Ce calculateur utilise la métrique de Schwarzschild pour une masse sphérique, non tournante et non chargée, et exige que le rayon d'émission se situe à l'extérieur du rayon de Schwarzschild 2GM/c22GM/c^2. Les décalages Doppler dus au mouvement relatif et le décalage cosmologique vers le rouge dû à l'expansion de l'univers sont des effets distincts non inclus ici.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu'est-ce que le décalage gravitationnel vers le rouge ?

Le décalage gravitationnel vers le rouge est l'allongement de la longueur d'onde de la lumière à mesure qu'elle s'extrait d'un champ gravitationnel. Prédit par la théorie de la relativité générale d'Einstein, il provient du fait que les horloges tournent plus lentement plus profond dans un puits de gravité, si bien que la lumière qui y est émise est mesurée à une fréquence plus basse — et donc une longueur d'onde plus grande — par un observateur lointain. Le décalage est donné par 1 + z = 1 / √(1 − 2GM/rc²), où M est la masse, r le rayon d'émission, G la constante gravitationnelle et c la vitesse de la lumière.

En quoi diffère-t-il du décalage Doppler vers le rouge ?

Un décalage Doppler vers le rouge provient du mouvement relatif entre la source et l'observateur, tandis qu'un décalage gravitationnel vers le rouge provient de la différence de potentiel gravitationnel entre le lieu d'émission de la lumière et le lieu d'observation — il se produit même quand ni l'un ni l'autre ne bouge. Le décalage cosmologique vers le rouge des galaxies lointaines est un troisième effet, apparenté, causé par l'expansion de l'espace. Les trois allongent les longueurs d'onde, mais ils ont des origines physiques distinctes et se calculent avec des formules différentes.

Comment le décalage gravitationnel vers le rouge a-t-il été mesuré pour la première fois ?

L'expérience de Pound–Rebka de 1959 fut la première confirmation en laboratoire. Des rayons gamma furent envoyés en haut d'une tour de 22,5 mètres à Harvard, et le minuscule décalage de fréquence causé par la gravité terrestre — seulement quelques parties sur 10¹⁵ — fut détecté à l'aide de l'effet Mössbauer. Le résultat concordait avec la relativité générale à environ 10 % près, affiné plus tard à mieux que 1 %. Les expériences modernes avec horloges optiques mesurent désormais le décalage pour des différences de hauteur de moins d'un mètre.

Quelle est la formule du décalage gravitationnel vers le rouge ?

En utilisant la métrique de Schwarzschild pour une masse sphérique non tournante, 1 + z = 1 / √(1 − 2GM/rc²), et la longueur d'onde observée est λ_o = λ_e (1 + z). La quantité 2GM/c² est le rayon de Schwarzschild. Pour les champs faibles, où 2GM/rc² est petit, cela se réduit à l'approximation familière z ≈ GM/rc². À mesure que le rayon d'émission approche le rayon de Schwarzschild, le décalage croît sans limite, c'est pourquoi ce calculateur exige que le rayon se situe à l'extérieur de celui-ci.

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