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Calculateur de dilatation gravitationnelle du temps

Données

Masse1 M☉
Rayon1 R☉
Temps propre1 a

Généré avec OneCalc · https://onecalc.app/fr/physics/gravitational-time-dilation

Physique

Calculateur de dilatation gravitationnelle du temps

Calculez la dilatation gravitationnelle du temps issue de la relativité générale. Saisissez la masse d'un corps, une distance à son centre et un intervalle de temps propre pour trouver le facteur de dilatation et le temps que mesure un observateur lointain.

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Dilatation gravitationnelle du temps

La dilatation gravitationnelle du temps est une conséquence de la théorie de la relativité générale d'Einstein : les horloges battent plus lentement dans des champs gravitationnels plus forts. Une horloge plongée dans un puits de gravité retarde sur une horloge identique située loin. L'effet est infime sur Terre mais devient spectaculaire à proximité d'objets très denses comme les étoiles à neutrons et les trous noirs.

Ce calculateur prend la masse MM d'un corps, une distance rr à son centre et un intervalle de temps propre t0t_0 mesuré à ce rayon, et renvoie le facteur de dilatation ainsi que le temps tt qu'enregistre un observateur lointain pendant que t0t_0 s'écoule près de la masse.

Comment fonctionne la dilatation gravitationnelle du temps

En relativité générale, la masse courbe l'espace-temps, et cette courbure ralentit l'écoulement du temps. Plus une horloge est proche d'un corps massif, plus son rythme retarde sur les horloges éloignées de toute gravité. Comme l'horloge de l'observateur lointain tourne comparativement plus vite, celui-ci enregistre un intervalle plus long que l'horloge en gravité profonde — l'horloge proche de la masse semble tourner au ralenti.

L'effet est régi par le rapport du rayon de Schwarzschild 2GM/c22GM/c^2 au rayon réel rr. Lorsque rr est bien plus grand que le rayon de Schwarzschild, la correction est négligeable ; à mesure que rr rétrécit vers lui, la dilatation diverge.

Formule

GrandeurSymboleDéfinition
Facteur de dilatationγg\gamma_gγg=11−2GM/rc2\gamma_g = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 2GM/rc^2}}
Temps propret0t_0Temps mesuré par l'horloge au rayon rr
Temps lointainttt=t01−2GM/rc2t = \dfrac{t_0}{\sqrt{1 - 2GM/rc^2}}
Constante gravitationnelleGG6.674 30×10−11 m3 kg−1 s−26.674\,30 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}
Vitesse de la lumièrecc299 792 458 m/s299\,792\,458\ \text{m/s} (exacte)

Le facteur est toujours supérieur à un. Lorsque r→∞r \to \infty il tend vers un et la dilatation disparaît ; à mesure que rr approche le rayon de Schwarzschild 2GM/c22GM/c^2, il croît sans limite.

Exemple résolu

Considérons une horloge à la surface du Soleil : M=1.989×1030 kgM = 1.989 \times 10^{30}\ \text{kg} et r=6.9634×108 mr = 6.9634 \times 10^8\ \text{m}.

Étape 1 — Rapport de Schwarzschild :

2GMrc2=2(6.674×10−11)(1.989×1030)(6.9634×108)(2.998×108)2≈4.24×10−6\frac{2GM}{rc^2} = \frac{2(6.674 \times 10^{-11})(1.989 \times 10^{30})}{(6.9634 \times 10^8)(2.998 \times 10^8)^2} \approx 4.24 \times 10^{-6}

Étape 2 — Facteur de dilatation :

γg=11−4.24×10−6≈1.0000021\gamma_g = \frac{1}{\sqrt{1 - 4.24 \times 10^{-6}}} \approx 1.0000021

Une horloge à la surface du Soleil retarde d'environ deux parties par million par rapport à une horloge lointaine. Sur une année, l'observateur lointain enregistre environ 67 secondes supplémentaires. Saisissez ces valeurs dans le calculateur pour reproduire le résultat.

Dilatation pour différentes intensités de champ

Objet2GM/rc22GM/rc^2Facteur de dilatation
Surface de la Terre1.4×10−91.4 \times 10^{-9}1,0000000007
Surface du Soleil4.2×10−64.2 \times 10^{-6}1,0000021
Surface d'une naine blanche∼10−4\sim 10^{-4}∼1.00005\sim 1.00005
Surface d'une étoile à neutrons∼0.3\sim 0.3∼1.2\sim 1.2

Pertinence dans le monde réel

La dilatation gravitationnelle du temps n'est pas seulement théorique. Les satellites GPS, en orbite là où la gravité est plus faible, gagnent environ 45 microsecondes par jour par rapport aux horloges au sol ; cela doit être corrigé sinon les positions dériveraient de plusieurs kilomètres chaque jour. L'expérience de Pound–Rebka a mesuré le décalage sur une tour de 22 mètres, et les horloges atomiques détectent aujourd'hui la différence pour des variations de hauteur d'une fraction de mètre.

Limite : masse statique et non tournante

Ce calculateur utilise la métrique de Schwarzschild, qui décrit une masse sphérique, non tournante et non chargée. Il exige que le rayon se situe à l'extérieur du rayon de Schwarzschild 2GM/c22GM/c^2. La rotation (métrique de Kerr), la charge et la dilatation du temps liée à la vitesse de la relativité restreinte sont des effets distincts non inclus ici.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu'est-ce que la dilatation gravitationnelle du temps ?

La dilatation gravitationnelle du temps est une prédiction de la théorie de la relativité générale d'Einstein : les horloges tournent plus lentement dans des champs gravitationnels plus forts. Une horloge proche d'un corps massif bat plus lentement qu'une horloge identique située loin. L'effet est donné par t = t₀ / √(1 − 2GM/rc²), où M est la masse, r la distance à son centre, G la constante gravitationnelle et c la vitesse de la lumière. Il se distingue de la dilatation du temps liée à la vitesse de la relativité restreinte, qui dépend du mouvement relatif et non de la gravité.

Quelle est la formule de la dilatation gravitationnelle du temps ?

Pour une masse sphérique non tournante, la solution de Schwarzschild donne t = t₀ / √(1 − 2GM/rc²). La quantité 2GM/c² est le rayon de Schwarzschild. Lorsque r est bien plus grand que ce rayon, la racine carrée est proche de un et la dilatation est minime ; à mesure que r approche le rayon de Schwarzschild, le dénominateur tend vers zéro et la dilatation croît sans limite. Le facteur est toujours supérieur à un, si bien que l'observateur lointain enregistre toujours plus de temps écoulé que l'horloge plongée dans le puits de gravité.

Pourquoi les satellites GPS corrigent-ils la dilatation du temps ?

Les satellites GPS orbitent à environ 20 000 km au-dessus de la Terre, où la gravité est plus faible, si bien que leurs horloges tournent plus vite que celles au sol d'environ 45 microsecondes par jour à cause de la dilatation gravitationnelle du temps. La dilatation de la relativité restreinte due à leur vitesse orbitale les ralentit d'environ 7 microsecondes par jour, laissant un gain net d'environ 38 microsecondes par jour. Sans correction des deux effets, les erreurs de positionnement s'accumuleraient de plusieurs kilomètres par jour, c'est pourquoi les horloges des satellites sont délibérément décalées.

Qu'arrive-t-il au temps près d'un trou noir ?

À mesure qu'un objet approche de l'horizon des événements d'un trou noir — la surface située au rayon de Schwarzschild — la dilatation gravitationnelle du temps devient extrême. Un observateur lointain voit l'objet en chute ralentir et sa lumière se décaler vers le rouge, semblant se figer à l'horizon sans jamais tout à fait le franchir, alors que l'objet lui-même le franchit en un temps propre fini. Exactement à l'horizon, le facteur de dilatation diverge, c'est pourquoi ce calculateur exige que le rayon se situe à l'extérieur du rayon de Schwarzschild.

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