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Calculateur de l'équation des opticiens

Données

Indice de réfraction1,5
Rayon de courbure R₁ (face avant)10 cm
Rayon de courbure R₂ (face arrière)-10 cm

Généré avec OneCalc · https://onecalc.app/fr/physics/lens-maker-equation

Physique

Calculateur de l'équation des opticiens

Trouvez la distance focale et la vergence d'une lentille mince à partir de son indice de réfraction et des rayons de courbure de ses deux faces, grâce à l'équation des opticiens : 1/f = (n − 1)(1/R₁ − 1/R₂).

Données

≥ 1

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L'équation des opticiens

Là où la relation conjuguée des lentilles minces indique où se forme une image, l'équation des opticiens vous dit ce qu'est une lentille — elle prédit la distance focale à partir du verre et du polissage seuls. Donnez-lui l'indice de réfraction du matériau et la courbure des deux faces, et elle renvoie la distance focale et la vergence. C'est exactement ce que fait ce calculateur.

La formule

Pour une lentille mince dans l'air,

1f=(n−1)(1R1−1R2),\frac{1}{f} = (n - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right),

où nn est l'indice de réfraction du matériau de la lentille, et R1R_1 et R2R_2 sont les rayons de courbure des faces avant et arrière. La vergence est simplement l'inverse de la distance focale,

P=1f,P = \frac{1}{f},

mesurée en dioptries (D), une dioptrie étant l'inverse d'un mètre.

La convention de signe

La courbure est algébrique. Une face bombée vers la lumière incidente a un rayon positif ; une face creuse a un rayon négatif. Ainsi, une lentille biconvexe symétrique a R1>0R_1 > 0 et R2<0R_2 < 0, ce qui rend le crochet grand et positif — c'est une lentille convergente. En inversant les deux signes pour une lentille biconcave, la distance focale devient négative, signe d'une lentille divergente. Une face plane a un rayon infini, donc son terme 1R\tfrac{1}{R} est simplement nul.

Exemple chiffré

Une lentille biconvexe symétrique en verre crown, n≈1,5n \approx 1,5, dont les deux faces sont taillées à un rayon de 10 cm=0,1 m10\ \text{cm} = 0,1\ \text{m}, soit R1=+0,1 mR_1 = +0,1\ \text{m} et R2=−0,1 mR_2 = -0,1\ \text{m} :

P=(1.5−1)(10.1−1−0.1)=0.5×(10+10)=10 D,\begin{aligned} P &= (1.5 - 1)\left(\frac{1}{0.1} - \frac{1}{-0.1}\right) \\ &= 0.5 \times (10 + 10) \\ &= 10\ \text{D}, \end{aligned}

donc la distance focale est

f=1P=0.1 m=10 cm.\begin{aligned} f &= \frac{1}{P} \\ &= 0.1\ \text{m} = 10\ \text{cm}. \end{aligned}

Différence avec la relation conjuguée

Les deux équations s'utilisent en séquence. L'équation des opticiens est une propriété de la lentille : entrez la forme et le matériau une fois, et vous obtenez la distance focale. La relation conjuguée, 1/f=1/do+1/di1/f = 1/d_o + 1/d_i, prend ensuite cette distance focale et localise l'image pour n'importe quelle distance objet. Caractérisez la lentille d'abord, puis formez des images autant de fois que vous le souhaitez.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu'est-ce que l'équation des opticiens ?

L'équation des opticiens prédit la distance focale d'une lentille mince à partir de sa construction, et non de la position d'un objet. Elle combine l'indice de réfraction du verre avec la courbure des deux faces : 1/f = (n − 1)(1/R₁ − 1/R₂). Plus les courbures sont prononcées et l'indice élevé, plus la lentille dévie fortement la lumière et plus la distance focale est courte.

Comment interpréter les signes de R₁ et R₂ ?

On adopte la convention qu'une face bombée vers la lumière incidente a un rayon positif, et une face creuse a un rayon négatif. Ainsi, une lentille biconvexe symétrique a R₁ > 0 et R₂ < 0, ce qui rend le terme entre parenthèses grand et positif — c'est une lentille convergente à distance focale positive. Pour une lentille biconcave, les signes s'inversent et la distance focale devient négative, ce qui caractérise une lentille divergente.

Quelle est la différence avec la relation conjuguée des lentilles minces ?

Les deux équations répondent à des questions différentes. L'équation des opticiens donne la distance focale à partir de la forme et du matériau de la lentille. La relation conjuguée, 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ, utilise ensuite cette distance focale pour localiser l'image d'un objet placé à une distance donnée. On utilise généralement l'équation des opticiens une fois pour caractériser une lentille, puis la relation conjuguée pour chaque situation d'imagerie.

Quel rayon utiliser pour une face plane ?

Une face plane (plan) a un rayon de courbure infini, de sorte que son terme 1/R est nul. Le calculateur ne peut pas accepter l'infini directement ; entrez un très grand rayon — par exemple 100 000 cm — pour approcher une face plane. Le résultat sera pratiquement identique à celui obtenu en annulant ce terme, ce qui correspond exactement au cas plan-convexe ou plan-concave.

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