Dernière mise à jour : 2026-06-16

Particule dans une boîte

La particule dans une boîte, aussi appelée puits carré infini, est l'un des premiers problèmes exactement solubles de la mécanique quantique. Une particule unique est piégée dans une région unidimensionnelle de longueur $L$ par des parois si hautes qu'elle ne peut jamais s'échapper. La résolution de l'équation de Schrödinger sous cette contrainte révèle que l'énergie de la particule n'est pas libre de prendre n'importe quelle valeur — elle est restreinte à une échelle discrète de niveaux.

Ce calculateur prend le nombre quantique $n$, la masse de la particule $m$ et la longueur de la boîte $L$, et renvoie l'énergie $E_n$ de ce niveau ainsi que la longueur d'onde de de Broglie $\lambda_n$ de l'onde stationnaire correspondante.

Comment fonctionne le modèle

Comme la particule ne peut jamais être trouvée à l'extérieur de la boîte, sa fonction d'onde doit tomber à zéro aux deux parois. Cette condition aux limites est identique à celle d'une corde fixée à ses deux extrémités : seules les ondes stationnaires qui contiennent un nombre entier de demi-longueurs d'onde dans la longueur $L$ subsistent. Chaque onde stationnaire permise porte une quantité de mouvement déterminée, et donc une énergie déterminée. Toutes les autres longueurs d'onde sont interdites, ce qui explique exactement pourquoi l'énergie ressort quantifiée.

Le niveau le plus bas, n = 1, est l'état fondamental. Il possède une énergie non nulle — la particule ne peut jamais être complètement au repos — ce qui est l'illustration la plus simple de l'énergie de point zéro.

Formule

Comme $E_n$ varie en $n^2$, les niveaux s'écartent à mesure que $n$ croît : $E_2 = 4E_1$, $E_3 = 9E_1$, et ainsi de suite. Rétrécir la boîte ou abaisser la masse pousse chaque niveau plus haut.

Exemple résolu

Un électron ($m = 9.109 \times 10^{-31}\ \text{kg}$) est confiné dans une boîte de longueur $L = 1\ \text{nm} = 1 \times 10^{-9}\ \text{m}$ dans son état fondamental, n = 1.

Étape 1 — Énergie :

Étape 2 — Longueur d'onde :

L'unique demi-longueur d'onde s'étend sur toute la largeur de la boîte, avec des nœuds à chaque paroi. Saisir ces valeurs dans le calculateur reproduit le résultat.

Niveaux d'énergie en un coup d'œil

Pertinence dans le monde réel

Bien qu'idéalisée, la particule dans une boîte fournit des estimations étonnamment bonnes chaque fois qu'un électron est confiné dans une petite région. Elle prédit les tendances de couleur des colorants à molécules conjuguées, l'absorption ajustable des points quantiques et des nanocristaux, ainsi que l'espacement énergétique des électrons dans les puits étroits des semi-conducteurs. Comme outil pédagogique, elle introduit la quantification, l'énergie de point zéro et le rôle central des conditions aux limites.

Limite : parois idéalisées

Le modèle suppose des parois infiniment hautes et une région parfaitement unidimensionnelle, si bien que la particule est strictement confinée et ne s'échappe jamais par effet tunnel. Les puits réels ont une profondeur finie, autorisant une certaine fuite de la fonction d'onde et abaissant légèrement les énergies. Pour les premières estimations et pour comprendre la physique du confinement, le puits carré infini demeure le point de départ standard.