最後更新：2026-05-19

布萊克-休斯模型概述

布萊克-休斯-莫頓（Black-Scholes-Merton）模型是為歐式選擇權求理論價格的封閉解定價模型。選擇權是賦予持有人權利而非義務，以固定的履約價在到期日前買入或賣出標的資產的契約；該模型在標的價格服從幾何布朗運動、波動率與利率固定、可連續避險的假設下，由無套利論證導出選擇權的公平價格。模型由 Fischer Black 與 Myron Scholes 於 1973 年提出，同年 Robert Merton 將其擴充以納入連續股利。輸入現貨價、履約價、到期時間、波動率與無風險利率五個市場參數，模型即可給出理論選擇權價格，以及反映各項風險敏感度的五個希臘字母。

布萊克-休斯公式

模型假設標的資產的價格遵循幾何布朗運動。在此假設與無套利論證下，歐式選擇權的公平價格滿足一個偏微分方程式，其解為：

買權（Call）：

賣權（Put）：

其中：

各符號說明如下：

d₁ 與 d₂ 的意涵

$N(d_2)$ 是在風險中性測度下，買權到期時為價內（現貨高於履約價）的機率；$N(d_1)$ 則包含額外的漂移調整，因此買權的 Delta 為 $e^{-qT} N(d_1)$。

從直覺上理解：買權的價值 = 標的資產的期望未來價格（以股利殖利率折現）× 到期時高於履約價的機率，減去履約價的現值 × 實際行使的機率。

計算實例

情境： 評估一口歐式股票選擇權，標的現貨價 NT$500，履約價 NT$500，距到期 3 個月（0.25 年），年化波動率 30%，無風險利率 1.5%，無股利。

• $S = 500,\ K = 500,\ T = 0.25,\ r = 0.015,\ q = 0,\ \sigma = 0.30$
• $\sigma\sqrt{T} = 0.30 \times \sqrt{0.25} = 0.30 \times 0.5 = 0.15$
• $\sigma^2/2 = 0.045$
• $d_1 = (0 + (0.015 + 0.045) \times 0.25) / 0.15 = 0.015 / 0.15 = 0.100$
• $d_2 = 0.100 - 0.15 = -0.050$
• $N(0.100) \approx 0.5398$，$N(-0.050) \approx 0.4801$
• $C = 500 \times 0.5398 - 500 \times e^{-0.00375} \times 0.4801 \approx 269.9 - 239.1 \approx 30.8$

對應的賣權（由買賣權平價理論）約為 NT$28.8。

五大希臘字母解析

選擇權交易者習慣以「希臘字母」衡量各項風險敏感度。本計算機提供全部五個。

Delta（Δ）——價格敏感度

Delta 衡量標的資產上漲 1 個單位時選擇權價格的變動量。

• 買權 Delta：介於 0 與 +1 之間。價平（ATM）買權的 Delta 約為 0.5。
• 賣權 Delta：介於 −1 與 0 之間。價平賣權的 Delta 約為 −0.5。

Delta 也近似於選擇權到期為價內的機率。Delta 為 0.7 的買權，在風險中性測度下約有 70% 的機率到期價內。交易者利用 Delta 計算避險部位：持有 Delta 0.5 的買權 100 口，等同持有 50 口標的，建立等量空頭標的部位即可達到「Delta 中立」。

Gamma（Γ）——Delta 的變化率

Gamma 是選擇權價格對標的資產的二階導數，描述 Delta 隨標的移動的速率。Gamma 在價平且接近到期時最高——這也是 Delta 最容易在短時間內從接近零跳升至接近一的時機。

買入選擇權（不論買權或賣權）的 Gamma 恆為正，且相同條件下買權與賣權的 Gamma 相等。「做多 Gamma」的交易者，在標的大幅波動時（不論方向）均能獲利；「做空 Gamma」的交易者（通常是市場造市商）則在標的大幅波動時面臨加速虧損的風險。

Vega（ν）——波動率敏感度

Vega 衡量隱含波動率每上升 1 個百分點時選擇權價格的變動量。若 Vega 為 1.5，隱含波動率從 30% 升至 31%，選擇權價格上漲 1.5 元。買入部位的 Vega 恆為正——買權與賣權在波動率預期升高時均增值。

Vega 在價平且距到期時間充裕時最大。深度價內或價外選擇權，以及短天期選擇權，Vega 均偏低。這也是日曆價差（買遠月、賣近月）作為「做多 Vega」策略的原理所在。

Theta（Θ）——時間耗損

Theta 衡量在其他條件不變的情況下，每過一個日曆日選擇權價格的變動量。買入選擇權的 Theta 幾乎恆為負——隨著到期日臨近，標的資產可以大幅波動的機會愈來愈少，時間價值因此持續消逝。

本計算機以 365 日除以年化值，呈現每日曆日的耗損（部分文獻以 252 個交易日計算，僅影響數值大小，不影響符號）。時間耗損在到期前最後一個月會顯著加速：一口價平選擇權在存續期最後一個月流失的時間價值，往往超過前五個月的總和。

Rho（ρ）——利率敏感度

Rho 衡量無風險利率每上升 1 個百分點時選擇權價格的變動量。買權的 Rho 為正（利率升高使履約價的現值降低，買權成本下降）；賣權的 Rho 為負。

對短天期股票選擇權而言，Rho 通常遠小於 Delta 與 Vega。但對長天期選擇權（如 LEAPS，長達一至兩年）、外匯或債券選擇權，利率差異對定價的影響就不容忽視。

模型假設與局限性

布萊克-休斯建立在若干簡化假設之上。了解這些假設的適用範圍，有助於判斷模型定價結果與市場實際價格在何種情況下會出現偏離。

波動率固定

模型將波動率視為固定的輸入值。然而現實中，隱含波動率因履約價而異（波動率微笑）、因到期日而異（波動率期限結構）。深度價外賣權的隱含波動率通常高於價平買權——即所謂的「波動率偏斜」，反映市場對崩跌保護的需求。布萊克-休斯假設所有選擇權共用同一個固定的波動率水準。

僅適用歐式選擇權

布萊克-休斯只能為僅可在到期日行使的歐式選擇權定價。美式選擇權可在到期日前任意時點行使，有時提前行使是合理的——尤其是深度價內賣權，或高股利股票在除息日前的買權。對於不配息的標的，美式買權不存在提前行使的誘因，其價格與歐式買權相同；賣權則永遠存在提前行使價值，必須使用數值方法（二項樹、有限差分、蒙地卡羅）來計算。

多數股價指數選擇權（如臺指選擇權、S&P 500 指數選擇權）屬於歐式選擇權，可直接套用布萊克-休斯模型；個股選擇權則多為美式，需留意提前行使的可能。

對數常態分佈（無跳躍）

模型假設標的資產的報酬率服從連續對數常態分佈，不存在突然跳躍。但實際上，股票報酬率具有厚尾特性，且在財報公布、央行決策或地緣政治事件時常出現不連續的價格跳躍。跳躍擴散模型（Merton 1976、Kou 2002）或隨機波動率模型（Heston 1993）試圖解決此問題，但代價是需要額外的參數估計。

連續交易與無摩擦成本

公式推導假設可以連續不斷地調整 Delta 避險部位，且無任何交易成本。實務上，買賣價差與手續費使得 Delta 再平衡只能離散進行。這種離散化誤差是市場造市商針對短天期價平選擇權定價高於理論值的原因之一。

常見應用場景

選擇權定價：最基本的用途——比較模型價格與市場成交價，判斷選擇權是否相對便宜或昂貴。當市場隱含波動率高於交易者對未來波動率的預期時，該選擇權通常被視為偏貴。

隱含波動率反推：給定市場成交價，逆推使布萊克-休斯公式還原出該價格的波動率，即為「隱含波動率（IV）」。IV 以單一數字濃縮市場預期，廣泛用於選擇權交易所的報價（例如美國 VIX 即為 S&P 500 指數 30 日 IV）。

動態避險：Delta、Gamma 與 Vega 指引如何調整標的及其他選擇權部位，以中立化特定風險。Delta 避險的投資組合僅對波動率暴露；Vega 中立的組合對隱含波動率的變化不敏感。

員工認股選擇權評價：企業依據國際財務報告準則（IFRS 2）或當地會計準則，以布萊克-休斯公式認列員工股票選擇權費用，通常以縮短的有效存續期反映不可移轉性與提前行使傾向。