最後更新：2026-05-09

複利概述

複利的核心機制是：每一期產生的利息，在下一期會連同本金一起繼續生息。 每筆利息都成為下一期計息的基礎，資產因此呈指數成長而非線性增加。 以年利率 6%、30 年期來說，最終餘額往往是累積投入金額的 3 至 5 倍， 且時間拉得越長，名目報酬與實質貢獻之間的差距加速擴大。

本計算機為通用設計，同時支援累積模式（退休金積累、定期定額投資全球分散股票 ETF、緊急備用金的逐步建立）與提領模式（依 4% 法則從投資組合支出生活費）。 可調整複利頻率、疊加通膨調整，並透過情境並列比較功能對照不同策略。

公式

最終餘額 $\text{FV}$ 由兩部分組成：本金的複利成長，加上每月現金流的年金未來值：

$$\text{FV} = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} + C \cdot \frac{\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} - 1}{\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n/12} - 1}$$

各符號定義如下：

符號	說明
$P$	初始本金（期初一次性投入）
$C$	每月現金流（累積為正值，提領為負值）
$r$	年利率（小數，例如 6% 輸入 0.06）
$n$	每年複利次數（年複利 = 1，月複利 = 12）
$t$	投資年期（單位：年）

第二項是年金未來值公式的延伸版本，能處理「每月投入但複利頻率非月複利」的情境； 分母的 $\frac{n}{12}$ 次方負責頻率換算。當 $n = 12$ 時，公式收斂為教科書常見的 月複利形式。當 $r = 0$ 時，公式在極限下化為線性形式 $P + 12Ct$，亦即沒有利息 時僅有本金與每月投入的累加，與直觀結果一致。

若啟用通膨調整，計算機另外輸出通膨平減後的實質餘額：

$$\text{FV}_{\text{real}} = \frac{\text{FV}}{(1 + \pi)^{t}}$$

其中 $\pi$ 為年通膨率。

計算範例

以下是一個具體示範，數值來自常見的長期定期定額情境：

• 初始本金 $P = 500{,}000$（以某幣別計）
• 每月追加投入 $C = 5{,}000$（同幣別）
• 年利率 $r = 6% = 0.06$
• 月複利，$n = 12$
• 投資年期 $t = 20$ 年

代入公式，先計算每期成長因子：

$$1 + \frac{r}{n} = 1 + \frac{0.06}{12} = 1.005$$ $$(1.005)^{12 \times 20} = (1.005)^{240} \approx 3.3102$$

本金部分：

$$P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} = 500{,}000 \times 3.3102 \approx 1{,}655{,}100$$

每月追加部分（$n = 12$ 時分母簡化為 $r/12 = 0.005$）：

$$C \cdot \frac{(1.005)^{240} - 1}{0.005} = 5{,}000 \times \frac{2.3102}{0.005} \approx 5{,}000 \times 462.04 \approx 2{,}310{,}200$$

兩者合計：

$$\text{FV} \approx 1{,}655{,}100 + 2{,}310{,}200 = 3{,}965{,}300$$

20 年間累積投入為 $500{,}000 + 5{,}000 \times 240 = 1{,}700{,}000$，而最終餘額約為 $3{,}965{,}000$，其中約 57% 來自複利效果，而非實際存入的本金與投入金額。

複利頻率的影響

以初始本金 10,000 元、年利率 6%、30 年、無每月追加投入為例：

複利頻率	最終餘額
年複利	57,435
季複利	59,693
月複利	60,226
日複利	60,484

年複利與月複利之間差距明顯，但月複利與日複利幾乎可以忽略。 在選擇金融商品時，手續費（管理費）、稅制（境內外股息所得稅、ETF 配息扣繳）、 資產類別對最終結果的影響，遠大於利息計算頻率本身。

提領與 4% 法則

提領模式下，計算機每月從餘額中扣除指定現金流。FIRE（財務獨立、提早退休） 規劃的核心問題是：在某個提領率下，投資組合能維持多久。 1998 年由三一大學（Trinity University）Cooley、Hubbard、Walz 三位學者所發表的研究 （學界通稱「三一研究 / Trinity Study」）分析了不同股債配置下退休投資組合的歷史存活率， 結果顯示：從股票權重較高的投資組合以通膨調整後 4% 提領，在歷史 30 年期樣本中 約有 95% 的情況不會耗盡。

本計算機有兩個固有限制需留意：

1. 報酬序列風險（sequence-of-returns risk）。相同的平均報酬率，若前十年 表現不佳，對提領期投資組合的損傷遠大於後十年表現不佳的情形。本計算機假設 固定報酬率，會完全平滑掉這個風險。
2. 通膨連動提領。本計算機的每月提領金額在名目上保持固定。4% 法則的學術 文獻通常假設每年依消費者物價指數（CPI）調升提領金額。近似做法：將初始提領設為本金的 4%， 同時開啟通膨疊加，再從實質餘額曲線觀察投資組合的存續能力。

情境並列比較

表單下方的「儲存快照」功能可用於並列比較不同假設。儲存目前輸入後， 微調某個參數——例如將報酬率從 6% 改為 7%、將年期延長 5 年、或將每月投入 加倍——快照卡片會保留原先結果以供直接比對，圖表也會疊加所有已儲存情境的 成長曲線。

常見的比較組合：

• 時間 vs 金額。月投 5,000 元 × 30 年 vs 月投 10,000 元 × 20 年。 累積投入相近，但最終餘額差距顯著。
• 複利頻率。年複利、月複利、日複利三組並列，可直觀確認頻率影響其實有限。
• 通膨侵蝕。通膨率 0%、2%、4% 三組情境並列，實質餘額（紫色）曲線會呈現 名目報酬被侵蝕的速度。

常見問題（FAQ）

複利頻率對最終餘額的影響有多大？

以年利率 6%、本金 10,000 元（任意幣別）、30 年計：年複利約 57,435、月複利約 60,226、日複利約 60,484。年複利→月複利差距明顯，但月複利→日複利差距極小。選擇投資工具時，手續費、稅務（如 ETF 配息扣繳）、資產類別遠比複利頻率重要。

和「儲蓄目標」計算機有什麼差異？

「儲蓄目標」計算機是目標導向：固定月複利下，反推每月需要投入多少才能達成目標金額。本計算機則是通用型：可選複利頻率、支援提領模式，並可情境並列比較。

4% 法則的安全性如何評估？

它是經驗法則而非保證。1998 年由三一大學（Trinity University）Cooley、Hubbard、Walz 三位學者發表的研究（又稱「三一研究」）分析了歷史上不同股債配置的退休投資組合存活率，顯示以通膨調整後 4% 年提領率，在 30 年期樣本中約有 95% 不會耗盡。但序列風險、更長年期、低報酬期都可能讓它失靈，建議用本計算機壓力測試自己的數字。

為什麼累積利息有時會超過我累積投入的金額？

這正是複利效應。每年的利息隔年再生利息，30 年以上的長期股票報酬下，最終餘額常為累積投入的 3~5 倍。利息超過投入的交叉點，正是複利報酬開始主導整體成長的轉折。